Ecuaciones algebraicas


Ecuaciones algebraicas

Un polinomio es un expresión algebraica que contiene variables, las x (y,z, etc), que son valores desconocidos, y números, que pueden ser coeficientes, que multiplican a la variable, y constantes, números independientes. La variable puede estar elevada a un determinada potencia, el exponente, que incluso puede ser el cero. El número máximo de exponente es el grado del polinomio.

Los polinomios son fundamentales en la ciencia. Han demostrado su enorme utilidad en física, química, ingeniería, economía, y ciencias sociales, pero no sólo en estas ciencias, sino también, por citar algunas, en biología, medicina, ecología, etc.

Una ecuación algebraica es una expresión polinómica que se iguala a cero. Las soluciones, llamadas raíces o ceros, son tantas como sea su grado. La ecuación de primer grado, o lineal (porque su representación es una línea), no ofrece ningún problema. Para resolver una ecuación de segunda grado emplearemos la fórmula correspondiente. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron estudiadas, entre otros, por Caramo y Tartaglia, que obtuvieron su fórmula. Para las ecuaciones de quinto grado y superiores no siempre se pueden obtener soluciones por el método de los radicales, como demostró Galois a principios del siglo XIX.

Si tenemos varias ecuaciones lineales, de primer grado, con varias variables, si tenemos tantas ecuaciones como variables, tendremos un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es relativamente sencillo no resulta muy difícil despejar las variables por sustitución, igualación o reducción, pero si el sistema es complicado, esta tarea puede resultar trabajosa, por lo que para ello se pueden utilizar matrices, siempre que el sistema sea de Cramer, es decir, que tenga una única solución.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, de primer grado, se pueden resolver de tres formas distintas: algebraica, despejando las incógnitas; geométrica, representando las funciones, o mediante matrices.

Las ecuaciones  de  Cardano-Vieta  permiten  expresar  los  coeficientes  de  un  polinomio de cualquier grado, en función de sus raíces, siendo de enorme utilidad. Sin embargo, tienen un fallo:no se puede saber si las raíces obtenidos como solución del sistema de ecuaciones son reales o complejas.

La acotación de raíces consiste en obtener las cotas superiores e inferiores de las raíces. Se utilizan los métodos de Laguerre y de Newton.

La separación de raíces es el segundo paso para hallar las raíces. Sabiendo que están en un intervalo, se separan, en intervalos en los que se puede afirmar que hay una raíz y sólo una. Además de separarse las raíces de un polinomio por medio de su derivada, se usan los métodos de Rolle, Budan-Fourier, de Sturm, y de Harrior-Descartes.

El último paso es el de aproximación de raíces. Para ello, separadas en intervalos, las vamos aproximando a la solución. Se usa el método de Newton, de Horner, de Budan-Fourier, de la Regula Falsi, y el general de iteración.


1. Polinomios

- Lectura: J. Martinez Mediano. Polinomios y otras expresiones algebraicas (pdf)
- Lectura: Wikipedia. Polinomio
- Lectura: Superprof. Polinomios
- Lectura: Khan Academy. Introducción a los polinomios
- Lectura: Vitutor. Operaciones con polinomios
- Lectura: Wikipedia. Regla de Ruffini
- Ejercicios: Matemáticas jjp. Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Ejercicios: Universidad de Zaragoza (OCW). Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de polinomios
- Herramienta: Matematicas Online. Suma y resta de polinomios



2. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

- Lectura: Wikipedia. Ecuación algebraica
- Lectura y problemas: Vitutor. Ecuaciones lineales
- Lectura: Wikipedia. Sistema de ecuaciones lineales
- Lectura: Espanito. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Rouché–Frobenius
- Herramienta: WIMS. Solucionador de sistemas lineales
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de ecuaciones
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de desigualdades
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de sistemas de ecuaciones



3. Ecuaciones de Cardano-Vieta

- Lectura: Wikipedia. Relaciones de Cardano-Vieta
- Lectura: U. de Navarra. Polinomios y relaciones de Cardano-Vieta (pdf)
- Ejercicios: Fernando Revilla. Fórmulas de Cardano-Vieta



4. Raíces de una ecuación algebraica. Resolución algebraica o numérica. Ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado

- Lectura: Wladimiro Díaz Villanueva. Cálculo de raíces de ecuaciones
- Lectura: Curso interactivo de Física en Internet: Raíces de una ecuación



5. Acotación de raíces

- Lectura: Educajob. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: U. de Oviedo. Raíces de ecuaciones no lineales



6. Separación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: Aula Abierta de Matemáticas. Resolución de ecuaciones
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Sturm




7. Aproximación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: CEDE. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces (pdf)
- Presentación: Antonio Herrera Escudero (U. Veracruzana). Raíces de polinomios (pdf)




Ejercicios resueltos de ecuaciones algebraicas

- Ejercicios:Apuntes marea verde. Ecuaciones y sistemas
- Ejercicios: OEI. Problemas cuadráticos de Olimpiadas (pdf)
- Ejercicios: Colexio Abrente. Ecuaciones y sistemas de 1º y 2º grado (pdf)
- Ejercicios: Jesús Montserrat Torrecillas. Métodos Numéricos en el Ámbito Naval (parte correspondiente, pdf)


Algebra Lineal y Geometría

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