El material de dibujo


Bigotera loca

Evidentemente no es la misma calidad un material de dibujo comprado en una casa especializada que instrumentos escolares, que no obstante, es un primer paso para iniciarse en el dibujo. Hay que tener en cuenta además que para iniciarse en el dibujo científico de Naturaleza es posible hacerlo como aficionado con materiales baratos, para ir aumentando la inversión a medida que vaya aumentando el trabajo, la destreza y la profesionalidad.

La diferencia entre el dibujo científico de Naturaleza y el dibujo geométrico, lineal o industrial, es que este último debe ser completamente geométrico, esquemático y preciso, mientras el de Naturaleza debe ser ilustrativo, pedagógico, y si es posible, artístico.

Ello no quita que no puedan tener muchas cosas en común. Por ejemplo, dibujos de plantas o animales pueden acompañarse de gráficas, mapas o cortes geológicos, y planos de construcciones o maquinaria pueden acompañarse de dibujos de como serían tras ser construídos.


1. Soportes de papel

En cuanto a soportes de papel tenemos principalmente cinco: el papel o cartulina, el papel de calcar, el papel vegetal o cebolla, el papel o cartulina con relieve, y el papel milimetrado.

El papel se vende en rollos o en hojas. Estas se suelen agrupar en resmas de 500 hojas. Una mano son 25 hojas. Por tanto un paquete de 500 hojas, una resma, tiene 20 manos.

Hoy día el formato más usado es el de la norma internacional ISO-DIN, en los formatos A3 (297 x 420 mm) y A4 (210 x 297 mm), siendo este último el formato usado como hoja de papel estándar o folio.

La fuerza del papel corresponde a su espesor y se mide en gramos por metro cuadrado (g/cm2), de aquí el nombre de gramaje. En cuanto a películas plásticas, el espesor de expresa directamente en micras.

El folio normal que usa para impresoras o para tomar apuntes es muy versátil y rinde muy buenos servicios, pero tiene poco cuerpo. De elegirlo, preferiblemente el de mayor gramaje.

El papel de calcar o de calco puede servir para componer figuras o hacer mapas y el más fino para croquis. Cuanto más fuerte mejor, siempre que no pierda la adecuada transparencia. La lámina de acetato suele ser lo más usado.

En dibujo industrial se han usado hace unos cuantos años el papel vegetal o papel cebolla, cuando se usaba para hacer copias, hoy ya en desuso por los programas CAD y las impresoras plotter. En ilustración de Naturaleza puede ser adecuado para mapas. No se le debe doblar porque los dobleces se marcan permanentemente.

La cartulina estucada es el soporte más agradable para el dibujo científico. Es un cartón recubierto por una capa de estuco. El dibujo hecho sobre este material se puede retocar raspando el estuco con una cuchilla. También es muy interesante la cartulina estucada negra, sobre la que se pueden dibujar fácilmente figuras blancas sobre fondo negro con una cuchilla.

En el papel o cartulina estampado al tener un relieve destinado a fragmentar el trazo en punteados con el lápiz, se pueden dibujar diferencias de tono, grisados que son muy laboriosos si se realizan a base de puntos. La superficie puede ser no raspable, de papel fuerte con superficie vermiculada, en la que la tinta se reparte por depresiones y relieves. Si es raspable, cartulina estucada en relieve, se puede trabajar con raspador.

El papel milimetrado es un papel que puede ser opaco o transparente, rayado horizontal y verticalmente con líneas espaciadas a escala milimétrica, con distancias entre líneas normalmente de 1 mm. En dibujo geométrico se emplea para bocetos, croquis, gráficas y diagramas. En ilustración científica se puede emplear para mostrar gráficas (como puede ser el aumento de la población de un ave, con un dibujo de la misma de fondo).



2. Lápices y portaminas

Los lapices de calidad tienen una dureza normalizada, que se indica normalmente con las HB y F. Los lápices duros llevan la letra H y los blandos la B, y además llevan un número proporcional a esta magnitud, así los 4B son muy blando y los 4H muy duros.

Conviene disponer de un juego de tres tipos:

- Para dibujar un lápiz de dureza media, HB o F.

- Uno blando o graso, al menos 2B. Ensucia y es frágil, pero puede servir para tiznar el reverso de dibujos para calcarlos.

- Para repasar los dibujos, sobre todo cuando se realiza una transferencia por calco, un lápiz relativamente duro 2H.

La sección de los lápices puede ser redonda o hexagonal, siendo esta preferible ya que no ruedan cuando se dejan sobre una mesa de dibujo inclinada.

El lápiz se debe poder afilar sin romperse. Para afilarlos, se puede usar un raspador para afilar minas, que es una simple pletina de cartón con un trozo de lija fina, sobre la que se gira la punta del lápiz. Esta operación se debe hacer fuera del papel de dibujo para que no caiga sobre el polvo del lápiz y lo ensucie. Otra opción usada es el afilador. Se debe hacer girar en él el lápiz de forma suave.

Los lapices de colores deben dar su color sin esfuerzo y con trazos suaves, y la mina no debe desmoronarse o quebrarse.

Todo esto es aplicable a los portaminas. Su mecanismo debe ser de buena calidad, que sujete firmemente la mina, esta no se debe desplazar si se da un trazo enérgico.

Las minas se venden en estuches para protegerlas de los golpes, ya que son frágiles.

Los portaminas tienen una ventaja sobre los lápices. Existen minas muy delgadas que no necesitan afilarse, siendo muy prácticas, además de para dibujo industrial, para gráficos, mapas, cartas geológicas, etc.



3. Gomas y borradores

Existen dos grandes grupos de gomas, las clásicas a base de caucho y las gomas plásticas o borradores plásticos.

Las gomas clásicas son las que dan mejor resultado para los lápices de grafito sobre papel común, celulósico. Son desaconsejables las de colores, ya que si no son de buena calidad dejan marca, y las rígidas, ya que extiende el grafito sin absorberlo.

Las gomas plásticas o borradores plásticos absorben muy bien el lápiz en los soportes plásticos, ya que las clásicas a menudo lo extienden. También dan buenos resultados en otros tipos de soporte.

A menudo las gomas vienen en un estuche protector, que conviene conservar, ya que de esta manera evitamos que la goma se ensucie, lo que hará que la conservemos más tiempo.

También existen los lápices goma, en los que la mina es de goma en vez de grafito. Son útiles para borrar puntualmente y con precisión.

Hay gomas especializadas en borrar lápiz de colores, en tinta china, etc. Su calidad y eficiencia depende de la marca.

Si la goma está sucia, conviene, antes de borrar, frotarla sobre un papel antes de usarla. 



4. Plumas y portaplumas

En la actualidad existen varias posibilidades, que van desde las plumas clásicas a los instrumentos más modernos.

El palillero de dibujo clásico, es lo más simple y lo más barato. Aunque ha sido desplazado en los últimos tiempos, sigue siendo muy empleado. Es un palillero de plástico o madera en cuyo mango se inserta la pluma.

Las plumas pueden ser clásicas con punto flexible, con punto de longitud y anchura variables, conviene disponer de una serie completa; plumas ordinarias, gracias a su firmeza pueden sustituir a un tiralíneas siempre que no se presionen inadecuadamente; de apertura fija, los tiralíneas, usados hace unos años en dibujo industrial, las plumillas de disco, que existen en varios espesores; y las plumas pincel, que poseen una laminilla metálica que hace de depósito de tinta.

Los tiralíneas pueden ser finos, para líneas finas, o de grueso, también llamada sueco o de lengua de vaca, que conviene que una de sus patas sea giratoria sobre la otra, para facilitar su limpieza. No conviene cargarlos de tinta en exceso, ya que puede caer alguna gota sobre el dibujo.

Los estilógrafos son plumas tubulares que tienen un depósito de tinta. Se les conoce popularmente como "rotrings", ya que Rotring es una de las marcas pioneras y más usadas. Tienen como ventaja su fácil uso, su trazado constante y su limpieza, y y como inconvenientes la necesidad de mantenimiento, ya que necesitan limpieza periódica para no obturarse, y la fragilidad y fácil rotura cuando las puntas son muy finas.

Por último, hay que hacer mención a los rotuladores de punta muy fina, cuya tecnología ha mejorado notablemente en los últimos años. No son comparables en calidad a las plumas, pero a veces pueden servir como sustituto.

En cuanto a la tinta, hay que hablar de dos propiedades: la opacidad y la fluidez. Cuanta más opaca mejor, y en cuanto a la fluidez, esta debe ser la adecuada para el propósito que la usamos.



5. Pinceles

La calidad de un pincel está directamente relacionada con la calidad del pelo, siendo buenos los de marta y ardilla. Conviene disponer al menos un pincel grande y otro pequeño.

También están las brochas de cerda, redondas, abombadas y planas, con distintas longitudes de pelo.

Un pincel, aunque no lo parezca es un instrumento muy frágil. Cuando se limpie en el agua, no hay que dejar que se aplaste la punta, ni dejarlo tiempo excesivo. No hay que intentar sacar un grumo de pintura aplastando los pelos. Para limpiarlo hay que enjuagarlo con abundante agua limpia y luego dejarlo secar de forma plana. No hay que dejar que una pintura se seque en la brocha. Si se va a dejar de usar durante un tiempo un pincel de buena calidad, hay que untar los pelos con vaselina, y a la hora de usarlo hay que eliminar la vaselina con agua y jabón.



6. Reglas y plantillas

Las reglas graduadas se emplean para medir longitudes. Conviene que sean de plástico y de buena calidad.

La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles y el cartabón tiene la forma de un triángulo rectángulo con ángulo agudos de 30º y 60º. Para que sean un juego el cateto menor debe ser igual a la hipotenusa. Se deben usar de plástico transparente. Se usan para trazar líneas.

El transportador de ángulos puede ser un círculo o un semicírculo donde van grabados los ángulos.

Las plantillas de curvas se emplean para trazar curvas que no se puede o no se hace bien con el compás. Conviene que sean flexibles, de plástico y que tengan un buen número de curvas. El uso correcto es dibujar primero a lápiz y luego a tinta. Conviene tener dos, una con curvas grandes y otra con curvas pequeñas.

Existen también reglas flexibles deformables, pero no suelen dar muy resultado, ya que a la larga se terminan estropeando y no sirven para curvas pequeñas.

También existen plantillas especiales, que son de plástico, en las que se ha perforado unas formas de frecuente uso, las hay de elipses, letras, círculos, cuadrados, y especializadas, con símbolos sanitarios, eléctrónicos, etc.



7. Compases

El compás grande con alargadera consta de dos patas articuladas. En un hay una punta de acero y en la otra el elemento trazador, de lápiz o de tinta. Hay que colocar la punta en el punto exacto y trazar el círculo desde la parte superior o mango. El trazar de tinta o lápiz siempre vertical y el compás bien ajustado, sin articulaciones flojas.

El compás de puntas se emplea para transportar medidas. El mecanismo de articulación de las patas no debe estar excesivamente prieto.

La bigotera, usada para trazar circunferencias pequeñas, puede ser de dos tipos: normal, en la que la separación de las patas es por una rueda moleteada, o loca o de émbolo, en la que hay un eje con una punta y la otra pata es separada por un tornillo.



8. Mesa o tablero de dibujo

El más simple puede ser un cartón grueso de 500 x 300 mm. Si se puede disponer de un tablero, mejor que sea de madera contrachapada.

Las casas especializadas ofrecen varios modelos en el mercado. El papel se puede sujetar a la mesa con cinta adhesiva.

Hay mesas de dibujo que tienen reglas con brazos de T o largas para trazar paralelas. Cada vez son menos usadas.

La iluminación debe ser suficiente y venir de arriba y a la izquierda.



9. Otros instrumentos

Pueden mencionarse la piedra de afilar, para mantener en buen estado los tiralíneas y compases, se suele cubrir con una capa de aceite para hacer más suave la operación; la cuchilla, que puede ser una simple cuchilla de afeitar, para retocar dibujos; o el trapo de limpieza, para limpiar los instrumentos.

Hay quien prefiere usar raspadores en vez de cuchilla. Un raspador consiste en un mango al que se le inserta una hoja puntiaguda o de bisturí. Permite un trabajo más fino que el que se podría hacer con una simple cuchilla.


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Ecuaciones algebraicas


Ecuaciones algebraicas

Un polinomio es un expresión algebraica que contiene variables, las x (y,z, etc), que son valores desconocidos, y números, que pueden ser coeficientes, que multiplican a la variable, y constantes, números independientes. La variable puede estar elevada a un determinada potencia, el exponente, que incluso puede ser el cero. El número máximo de exponente es el grado del polinomio.

Los polinomios son fundamentales en la ciencia. Han demostrado su enorme utilidad en física, química, ingeniería, economía, y ciencias sociales, pero no sólo en estas ciencias, sino también, por citar algunas, en biología, medicina, ecología, etc.

Una ecuación algebraica es una expresión polinómica que se iguala a cero. Las soluciones, llamadas raíces o ceros, son tantas como sea su grado. La ecuación de primer grado, o lineal (porque su representación es una línea), no ofrece ningún problema. Para resolver una ecuación de segunda grado emplearemos la fórmula correspondiente. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron estudiadas, entre otros, por Caramo y Tartaglia, que obtuvieron su fórmula. Para las ecuaciones de quinto grado y superiores no siempre se pueden obtener soluciones por el método de los radicales, como demostró Galois a principios del siglo XIX.

Si tenemos varias ecuaciones lineales, de primer grado, con varias variables, si tenemos tantas ecuaciones como variables, tendremos un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es relativamente sencillo no resulta muy difícil despejar las variables por sustitución, igualación o reducción, pero si el sistema es complicado, esta tarea puede resultar trabajosa, por lo que para ello se pueden utilizar matrices, siempre que el sistema sea de Cramer, es decir, que tenga una única solución.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, de primer grado, se pueden resolver de tres formas distintas: algebraica, despejando las incógnitas; geométrica, representando las funciones, o mediante matrices.

Las ecuaciones  de  Cardano-Vieta  permiten  expresar  los  coeficientes  de  un  polinomio de cualquier grado, en función de sus raíces, siendo de enorme utilidad. Sin embargo, tienen un fallo:no se puede saber si las raíces obtenidos como solución del sistema de ecuaciones son reales o complejas.

La acotación de raíces consiste en obtener las cotas superiores e inferiores de las raíces. Se utilizan los métodos de Laguerre y de Newton.

La separación de raíces es el segundo paso para hallar las raíces. Sabiendo que están en un intervalo, se separan, en intervalos en los que se puede afirmar que hay una raíz y sólo una. Además de separarse las raíces de un polinomio por medio de su derivada, se usan los métodos de Rolle, Budan-Fourier, de Sturm, y de Harrior-Descartes.

El último paso es el de aproximación de raíces. Para ello, separadas en intervalos, las vamos aproximando a la solución. Se usa el método de Newton, de Horner, de Budan-Fourier, de la Regula Falsi, y el general de iteración.


1. Polinomios

- Lectura: J. Martinez Mediano. Polinomios y otras expresiones algebraicas (pdf)
- Lectura: Wikipedia. Polinomio
- Lectura: Superprof. Polinomios
- Lectura: Khan Academy. Introducción a los polinomios
- Lectura: Vitutor. Operaciones con polinomios
- Lectura: Wikipedia. Regla de Ruffini
- Ejercicios: Matemáticas jjp. Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Ejercicios: Universidad de Zaragoza (OCW). Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de polinomios
- Herramienta: Matematicas Online. Suma y resta de polinomios



2. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

- Lectura: Wikipedia. Ecuación algebraica
- Lectura y problemas: Vitutor. Ecuaciones lineales
- Lectura: Wikipedia. Sistema de ecuaciones lineales
- Lectura: Espanito. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Rouché–Frobenius
- Herramienta: WIMS. Solucionador de sistemas lineales
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de ecuaciones
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de desigualdades
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de sistemas de ecuaciones



3. Ecuaciones de Cardano-Vieta

- Lectura: Wikipedia. Relaciones de Cardano-Vieta
- Lectura: U. de Navarra. Polinomios y relaciones de Cardano-Vieta (pdf)
- Ejercicios: Fernando Revilla. Fórmulas de Cardano-Vieta



4. Raíces de una ecuación algebraica. Resolución algebraica o numérica. Ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado

- Lectura: Wladimiro Díaz Villanueva. Cálculo de raíces de ecuaciones
- Lectura: Curso interactivo de Física en Internet: Raíces de una ecuación



5. Acotación de raíces

- Lectura: Educajob. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: U. de Oviedo. Raíces de ecuaciones no lineales



6. Separación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: Aula Abierta de Matemáticas. Resolución de ecuaciones
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Sturm




7. Aproximación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: CEDE. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces (pdf)
- Presentación: Antonio Herrera Escudero (U. Veracruzana). Raíces de polinomios (pdf)




Ejercicios resueltos de ecuaciones algebraicas

- Ejercicios:Apuntes marea verde. Ecuaciones y sistemas
- Ejercicios: OEI. Problemas cuadráticos de Olimpiadas (pdf)
- Ejercicios: Colexio Abrente. Ecuaciones y sistemas de 1º y 2º grado (pdf)
- Ejercicios: Jesús Montserrat Torrecillas. Métodos Numéricos en el Ámbito Naval (parte correspondiente, pdf)


Algebra Lineal y Geometría
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Ilustración científica de Historia Natural


Actiniae, 1907, por el naturalista Ernst Haeckel
Actiniae, 1907, por el naturalista Ernst Haeckel

La ilustración científica de Historia Natural es una actividad fascinante. Es una mezcla de Ciencia, Arte, y sobre todo fascinación por la Naturaleza, por el mundo que nos rodea.

Los dibujos de Cuvier, Buffon, Haeckel, por citar unos pocos, y en España, los cuadernos de campo de Felix Rodríguez de la Fuente, incitaron curiosidad, cautivaron, y motivaron a muchas generaciones de científicos, naturalistas, aficionados, o simples lectores, además de servir de enorme ayuda a las Ciencias Naturales.

Hoy, la ilustración científica de la Naturaleza, en la era digital, sigue siendo una actividad necesaria, una afición apasionante, un posible medio de vida, y un excelente elemento de divulgación y desarrollo científico. Los ordenadores y la animación digital, lejos de anularla o no hacerla necesaria, por el contrario, la han enriquecido.

Sin la ilustración naturalista, no hubiéramos podido conocer muchos aspectos de la Naturaleza desde el siglo XVIII, como jardines botánicos, variedades de plantas, los extinguidos dodo o la paloma migratoria, ni tampoco recrear mundos del pasado de la Tierra.

Iniciarse en esta gratificante actividad es sencillo, sólo hacen falta ganas e interés. Con papel de dibujo, lapices de distinta dureza, lapices de colores o acuarelas basta para una primera toma de contacto.  


1. Historia y concepto

La ilustración científica, usada principalmente en Historia Natural, existe prácticamente desde los inicios de la Humanidad, cuando el ser humano se esforzaba por entender el mundo que le rodeaba; plantas, animales, paisajes.

Al principio fueron los pintores del arte rupestre, luego los dibujantes renacentistas (Leonardo da Vinci, Alberto Durero), luego los ilustradores de la era científica (George Stubbs, Sydney C. Parkinson, Ferdinand Bauer, Maria Sibylla Merian, Ellis Rowan, etc.) hasta llegar a los tiempos actuales (Margaret Mee, Nicolás Fernández, Diego Ortega, etc.).

El propósito de la ilustración científica de la Naturaleza es ayudar a la investigación, a la docencia y a la divulgación científica de la Historia Natural, de las Ciencias de la Naturaleza.

El inicio de esta disciplina como tal surge en el siglo XVIII, en la Revolución Científica, con las grandes exploraciones. La investigación de los continentes americano y africano se descubran tantas plantas nuevas, que es necesario poner orden en este caos. El sistema de clasificación de Linneo ayudó a hacerlo.

Georg Ehret fue un botánico y entomólogo alemán que trabajó con Linneo. Dibujo las plantas con todos sus colores y formas, ayudando a su clasificación al mostrar con detalles sus partes reproductivas. Se le conoce como estilo Linneo.

Frente a la anterior corriente descriptiva, se dio otra corriente que dibujaba la Naturaleza, tal como era, como un todo. Esta corriente está ejemplificada en el naturalista y botánico norteamericano William Bartram. Se le conoce como estilo ecológico.

Estas dos corrientes o tendencias continúan en el actualidad. Siguen siendo tan necesarias, una como la otra, y ambas siguen contribuyendo al Arte y a la Ciencia.

La diferencia entre ilustración científica de Historia Natural e ilustración naturalista es que la ilustración científica de Historia Natural plasma conceptos científicos con rigor y claridad, necesitando investigación y documentación, y cuyo fin es la comunicación y divulgación científica, mientras que la ilustración naturalista se toma ciertas licencias en cuanto a colores formas, formas, etc, y su fin es mostrar la belleza del mundo natural. En todo caso, el limite es muy sutil.

Los objetivos pueden ser cualesquiera que aparezcan en la Naturaleza, como seres vivos, el Universo, minerales, fósiles, objetos arqueológicos, objetos antropológicos, etc.



2. Visión actual

Se puede pensar que ya no existe necesidad de aprender y practicar ilustración científica de Historia Natural en un mundo donde se ha impuesto la fotografía digital y la animación por ordenador, pero lo cierto es que los ilustradores científicos de Historia Natural son muy demandados ya que es necesario resaltar aspectos que la fotografía no hace, reconstruir mundos del pasado, realizar dibujos para publicaciones, interpretar datos científicos de manera visual, o simplemente, pensar de forma visual uniendo arte y ciencia.

La observación detallada del objeto que dibujan ha permitido a los ilustradores científicos observar detalles que habían pasado desapercibidos a los científicos, médicos y arqueólogos, como detalles de animales y plantas, aspectos del desarrollo fetal, y características de artefactos realizados por los primeros humanos.

Las diferencias que existen entre la ilustración de Historia Natural y la ilustración artística son las siguientes:

- La ilustración de Historia Natural requiere trabajos previos, como observaciones (a veces trabajo de campo), investigación y y trabajo de preparación.

- En la ilustración científica se dibuja el objeto con la mayor precisión posible, sin inventar nada, aunque sí es posible resaltar algún detalle que interese hacerlo.

- En la ilustración científica las ilustraciones deben ser visualmente atractivas, pero sin ninguna concesión a la libertad creativa.

En definitiva, la ilustración científica de Historia Natural se basa en la observación y en la técnica, mientras el dibujo artístico puede dar rienda suelta a la imaginación y la creatividad.

Hasta tal punto es así, que varias universidades y centros de investigación imparten cursos o asignaturas de ilustración científica de Historia Natural, entre ellos el prestigioso curso de la universidad australiana de Newcastle Drawing Nature, Science and Culture: Natural History Illustration, que se puede seguir online de manera gratuita, sólo hay que pagar si se quiere un certificado.

Ejemplos actuales de ilustradores científicos de Historia Natural demuestran que la ilustración científica de la Naturaleza, aunque tenga cierto aire romántico, no es algo del pasado, sino algo del presente y con futuro.

El artista y ornitólogo William T. Cooper (1934-2015), también nacido y educado en Newcastle, NSW, se menciona en el siguiente vídeo de David Attenborough como "uno de los más grandes que haya trabajado en esta disciplina tan exigente". Cooper, cuyo trabajo no solo es hermoso y está lleno de carácter, sino que también es científicamente correcto, explica aquí lo importante que es para los ilustradores de historia natural estudiar las aves vivas en busca de formas, modales y hábitats, y las muestras de taxidermia para los detalles más finos, incluso hasta el número de plumas. Las observaciones diligentes de Cooper significan que su trabajo tiene un lugar legítimo en el arte y la ciencia y que siempre resistirá la prueba del tiempo.


Algunos enlaces interesantes:

- Colección de las hermanas Scott en el Museo Australiano

- Diego Ortega Alonso, profesional de la ilustración científica de Historia Natural

- Institución Smithsoniana: modelos en 3d y laboratorio de aprendizaje.

- Los naturalistas y el estudio de la Naturaleza

- Obras de William T. Cooper

- Pinturas sobre pueblos aborígenes australianos de Joseph Lycett


3. Técnicas de la ilustración científica de Historia Natural

La primera técnica que se debe dominar es el dibujo, aprender a dibujar bien y con precisión, saber componer una ilustración y realizar el diseño final de forma tridimensional y realista. Su protagonista principal es el lápiz.

La segunda es la aplicación de color, saber como dar realismo y profundidad a los dibujos. Sus protagonistas son los pinceles y lápices de colores.

La tercera es la mejora de la ilustración, ya sea mediante retoque fotográfico digital, para exponer en público, murales, etc.

La ilustración científica puede llevar tiempo adoptándose posiciones estáticas y movimientos repetitivos. Debemos tener un espacio para configurar nuestro equipo de ilustración científica, sintiéndonos cómodos en el mismo. La mesa y la silla deben ser cómodas, la espalda debe estar recta y los ojos deben hacer descansos periódicos. 



4. Material necesario

Un material básico para empezar puede ser el siguiente:

- Un bloc de dibujo de tamaña A3 (el doble de un folio) con papel de buena calidad.

- Superficie dura para apoyar el papel (Escritorio, mesa o tablero de dibujo)

- Lápices de distinta dureza, de 4B hasta 2H.

- Gomas de borrar

- Pluma o cepillo suave para limpiar los restos de goma

- Lapices de colores, o una caja de pinturas de acuarela (en este caso necesitaremos un pincel pequeño.

- Una buena iluminación. Después de la iluminación natural, puede valer una lámpara de escritorio que ilumine bien y de manera homogénea.



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¿Qué fue de los pioneros de la educación universitaria online por Internet?


Página CASO en 1997
Página CASO en 1997

Nos remontamos en el tiempo más de 20 años. Corría el año 1997, desde la creación de Internet en 1969 (la experimental Arpanet), se había empezado realmente a desarrollar a partir de la segunda mitad de los 90, más o meno sobre 1995.

Al principio, la trasferencia de datos se hizo mediante vía telefónica y en sus inicios se limitaba a la comunicación escrita (el correo electronico o email) y a la lectura de información. Poco a poco empezaron a añadirse más posibilidades, como multimedia, descargas de archivos, etc.

A nadie se le escapaba que Internet podía ser una herramienta excelente para educación, y ya no sólo por las enormes posibilidades de aprendizaje que ofrecía a través de vídeos, consulta de información, etc., sino porque por su propia estructura podía ser usado para la educación a distancia. En este aspecto, ya desde los comienzos, se desarrollaron un gran número de cursos de distinta temática.

Pero la educación universitaria, o de otros niveles pero reglada, era otra muy distinta. Tendría que transcurrir mucho tiempo hasta que la cosa madurase. Pero al final lo hizo, en algunos casos de forma brillante, como en el caso de los MOOCs, y en otros de forma fraudulenta, como los fake diplomas.

Las instituciones universitarias de enseñanza a distancia no eran algo nuevo. La británica Open University había abierto sus puertas en 1969 y la española UNED en 1972. Normalmente, la comunicación con el estudiante se realizaba por correspondencia, mediante los servicios postales, pero en el desarrollo de Internet surgió una gran oportunidad.

Oportunidad que en realidad significaba un vasto campo por explorar. Y como en toda exploración se necesitaban pioneros que fueran por delante abriendo camino, en algunos casos hasta de forma experimental.

Esta es la historia de algunos de esos pioneros.


The CASO Internet University Index

Era un sitio web (www.caso.com) que facilitaba información sobre cursos universitarios online en Internet. Tenía pretensiones de llegar a ser un mega portal, pero al final terminó despareciendo. Hoy día el dominio pertenece a una empresa de tratamiento de documentos.


Open University de British Columbia (Canadá)

Fue una de las universidades pioneras. Hoy día, la British Columbia Open University sigue existiendo, si bien tampoco ha expandido notablemente sus programas de enseñanza online.


Electronic University de Hong-Kong

Universidad completamente pionera en la enseñanza por Internet, hasta tal punto que en 1997 ofrecía títulos de tres universidades, incluyendo un Bachelor of Health Sciences y un MBA.

Por entonces se dudaba de su futuro por el traspaso de la colonia británica de Hong Kong a China. Pues bien, dichas sospechas eran ciertas porque a día de hoy ha desaparecido como tal.

No obstante, su sucesora, la Open University de Hong Kong ofrece numerosos programas, entre ellos varios master, incluyendo MBA, grados en estudios chinos, electrónica, ingeniería mecánica, ciencias ambientales, matemáticas, estadística, economía, informática, ciencias sociales, etc.

El precio de un curso anual es de unos 5.600 euros, más tasas de secretaría, unos 30-60 euros. Hay subsidios y préstamos destinados a los estudiantes.


Universidad de Cornell

La prestigiosa Universidad de Cornell, fundada en el siglo XIX, situada en Nueva York, fue una de las primeras en ofrecer posibilidades de estudio a través de Internet, aunque lo hacía modestamente.

Hoy día, su oferta cursos online es muy inferior a la que ofrecen otras universidades.


Universidad de Phoenix

Ya en 1997 ofrecía varios MBA y la titulación de Ingeniería Informática. Hoy día, sus programas a distancia ofrece grados en administración de empresas, informática, educación, ciencias ambientales, psicología, etc. y másteres en estas disciplinas.

El coste del crédito es de 398 dólares, si se tienen que completar 120 créditos, el coste total será 47.760 dólares, que si lo dividimos por cuatro cursos, son 11.960 dólares, excesivo siendo online, aunque la educación sea, y esto nadie lo duda, de calidad.


Universidad Regiomontana de México

Esta universidad, creada en Monterrey en 1969, en 1997 ofrecía titulaciones empresariales, sociales e ingenierías, entre ellas la química. En aquella época online ofrecía algunos cursos. Actualmente ofrece carreras en línea y maestrías de Licenciatura en Derecho, Psicología, Administración, y maestrías de Derecho, Recursos Humanos, y Logística.


Universidad Alas Peruanas

Universidad fundada en 1996 por la Cooperativa Alas Peruanas, constituída por miembros de las Fuerzas Armadas de Perú. Ya en 1997 aspiraba a ofrecer la carrera de Ecología, entonces única en Perú.

Su Dirección Universitaria de Educación a Distancia ofrece varias carreras virtuales, en pregrado, Administración y Negocios Internacionales, Ciencias Contables y Financieras, Derecho y Ciencias Políticas, Ingeniería Ambiental, Ingeniería Industrial, y Psicología Humana; y en posgrado maestrías y doctorados de estas especialidades.


Open University

Esta universidad a distancia inglesa fue pionera de la educación a distancia en Europa. Ya en 1997 seguía con su modelo de entonces, de educación a distancia, como el de la UNED, pero ya empezaba a introducirse en el mundo de Internet.


¿Qué conclusiones podemos sacar 20 años después?

El camino recorrido en 20 años ha sido largo y fructífero, hay que reconocerlo. Pero estamos muy lejos de alcanzar una educación universitaria gratuita y universal online. Una educación que no tiene ni debe estar reñida con la educación universitaria presencial, como lo demuestra la incorporación de prestigiosas universidades a los MOOCs o a los materiales abiertos, por citar unos ejemplos. Por el contrario, la educación presencial puede beneficiarse del desarrollo de la educación online.

Al principio los MOOCs eran completamente gratuitos, pero hoy día la mayor parte de las instituciones cobran un precio mínimo por los certificados o diplomas. Precio que es muy cierto que no es elevado, pero que para personas con bajos ingresos económicos o de partes del planeta deprimidas económicamente supone un importante desembolso. Hay que reconocer que la sostenibilidad económica de este modelo, si no se cobrara el certificado, era difícil. Quizá en un futuro haya nuevas formas de financiación. Nunca hay que perder la esperanza de que surgan soluciones imaginativas.

En este sentido, iniciativas como Saylor Academy o CUVSI, desde nuestras modestas posibilidades, intentan paliar esta carencia, intentando el ideal de que exista una educación universitaria, con mayor o menor calidad, con mayor o menor exigencia, que sea completamente online y completamente gratuita. 


Enseñanza en la Red

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Análisis combinatorio


Permutación

La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones y agrupaciones de los elementos. Sus aplicaciones son enormes, sobre todo en la informática, la estadística y el cálculo de probabilidades. En la vida cotidiana tenemos numerosos ejemplos de aplicación.

Tengo que organizar un evento en el que habrá una comida con comensales en varias mesas, ¿cuántas formas distintas tengo de distribuirlas?

Estoy decorando la casa y en mueble tengo un espacio para tres figuras y tengo diez distintas, ¿cuántas posibilidades tengo si influye el orden de colocación?

La Lotería Primitiva consiste en elegir 6 números elegidos desde el 1 al 49, ¿qué probabilidades tengo de acertar?

Las variaciones se dan cuando de un grupo de elementos hacemos agrupaciones menores. Cada una de estas agrupaciones menores se distingue de otra por el orden por los elementos que contiene y como están colocados, es decir, influye el orden.

En las permutaciones de un grupo de elementos creamos todos los grupos posibles con todos los elementos, siendo cada grupo distinto de otro por el orden en el que están colocados.

Las combinaciones son similares a las variaciones, pero en este caso en las agrupaciones menores no influye el orden, sólo se distinguen por los elementos que contengan.

Fue Newton, como otras tantas y tan importantes aportaciones, el que usando la tabla de coeficientes binomiales del matemático persa medieval Al-Karaŷí y los métodos de interpolación y extrapolación de John Wallis, descubrió el desarrollo del binomio y fue la honradez de Wallis la que reconoció su autoría, ya que Newton nunca publicó el descubrimiento, haciéndolo aquel.

Las variaciones, permutaciones y combinaciones también pueden ser con repetición, que ocurre cuando se pueden repetir los elementos, pudiendo haber, como es lógico, muchas más posibilidades.


1. Variaciones

- Lectura: Vitutor. Variaciones ordinarias
- Lectura: Va de numeros. Variaciones ordinarias
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Lectura: Wikipedia. Factorial
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones ordinarias



2. Permutaciones

- Lectura: Vitutor. Permutaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones ordinarias



3. Combinaciones. Número combinatorio

- Lectura: Vitutor. Combinaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones ordinarias
- Lectura: Vitutor. Número combinatorio



4. Binomio de Newton

- Lectura: Vitutor. Binomio de Newton
- Lectura: Wikipedia. Teorema del binomio
- Lectura: INTEF. Binomio de Newton



5. Variaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Variaciones con repetición
- Lectura: Ekuatio. Variaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones con repetición



6. Permutaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Permutaciones con repetición
- Lectura: Instituto Tecnológico de Chihuahua. Permutaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones con repetición



7. Combinaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Combinaciones con repetición
- Lectura: Wikipedia. Combinaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones con repetición



Ejercicios resueltos de combinatoria

- Ejercicios: Xunta de Galicia. Ejercicios Resueltos Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Vitutor. Problemas de Combinatoria
- Ejercicios: Facultad de Ingeniería - URU. 68 ejercicios de combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Cajón de Ciencias. Problemas resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas Webcindario. Ejercicios resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Problemas resueltos Matemáticas. Combinatoria
- Ejercicios: I.E.S. Sant Vicent. Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Combinatoria (pdf)


Algebra Lineal y Geometría
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Números complejos



Aunque parezca que son algo moderno, la necesidad de contar con los números complejos ya se plantea entre los matemáticos de la Antigua Grecia. Sin embargo, su gestación hasta llegar a la forma actual ha sido progresiva. Se plantea su clara necesidad para resolver los polinomios de segundo y tercer grado en el siglo XVI. En el siglo XVII Descartes los denomina como números imaginarios, término hoy en desuso. Sin embargo, la indiferencia ante ellos hace que no se desarrollen. Pero a principios del siglo XIX Wessel y Argand sientan sus bases y Gauss los bautiza con su nombre actual. También en ese siglo se crea su simbología con pares de números reales.

Los números complejos han sido fundamentales para el desarrollo de la física cuántica, así como para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas.

Un caso especial de la fórmula de Euler es la llamada identidad de Euler, que relaciona cinco números clave de la historia de las Matemáticas, que son:

- El 0: la no existencia

- El 1: la unidad

- π: pi, la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, numero irracional, 3,1416...

- e: el número e, base de los logaritmos naturales, aparece en las fórmulas de interés compuesto y es el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)n, que lejos de ser un artificio es un número que aparece constantemente en la Naturaleza, es irracional, siendo 2,7182...

- i: raíz cuadrada de -1, número imaginario

La identidad de Euler es la siguiente:
e + 1 = 0

¿Cómo se llega hasta aquí? Si la fórmula de Euler es:

eix = cosx + isenx

Sustituyendo x, cualquier número real, por π tenemos:

e = cosπ + isenπ

Como cosπ = -1 y senπ = 0:
e = -1 + 0

De aquí se llega fácilmente a la identidad de Euler:

e + 1 = 0

Que se ha dicho de la misma que es


1. Números complejos. Representación

- Lectura: Wikipedia. Número complejo
- Lectura: Vitutor. Números complejos



2. Operaciones con los números complejos

- Lectura: Ditutor. Números complejos
- Lectura: Khan Academy. Números complejos
- Lectura: Invitación a las Matemáticas. Números complejos
- Lectura: AGA Virtual. Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
- Herramienta: SoloMaths. Calculadora de números complejos



3. Potencias y raíces

- Lectura: Aula Fácil. Potencias y raíces de números complejos
- Lectura: Sangaku Maths. Potencias y raíces de complejos en forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)
- Presentación: Sabrina Dechima. Potencia y raíz de números complejos



4. Forma exponencial de un número complejo

- Lectura: Sangaku Maths. Números complejos en forma exponencial
- Lectura: AGA Virtual. Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
- Lectura: ETS de Naútica y Máquinas Navales - UPV. Números complejos



5. Fórmula de Euler

- Lectura: Wikipedia. Fórmula de Euler
- Lectura: Estudiar Física. Ecuación de Euler y teorema fundamental del álgebra




6. Logaritmo de números complejos

- Lectura: My complex soul. Logaritmo de números complejos
- Lectura: Silvia Carmen Morelos Escobar y José David Zaldívar Rojas. El logaritmo en los números complejos (pdf)
- Lectura: Dpto. Matemáticas - U.Murcia. Logaritmos y números complejos (pdf)
- Presentación: Paula Azabal Rubio. Logaritmos de los números complejos



Ejercicios resueltos de números complejos

- Ejercicios: Vitutor. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: G. Jarné; E. Minguillón; T. Zobal. Ejercicios resueltos de números complejos (pdf)
- Ejercicios: Profesor de mates 10. Números complejos. Ejercicios de exámenes
- Ejercicios: Va de números. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: Elena Álvarez Sáiz. Ejercicios resueltos. Números complejos (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Ejercicios de números complejos (pdf)


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Wikipedia. Logaritmo complejo


Algebra Lineal y Geometría
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Álgebra y estructuras algebraicas

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Álgebra

Desde los orígenes de la Humanidad siempre ha habido necesidad de contar. El comportamiento simbólico humano nace hace unos 40.000-50.000 años. Al principio se hizo con los dedos de la mano, por ello no es casualidad que nuestro sistema de numeración sea decimal.

Numerar, sumar y restar fueron las primeras operaciones básicas. Pero también había que repartir y de esta manera nacieron la multiplicación y la división. Así nació la aritmética. Al avanzar la sociedad, la necesidad de cálculos complejos y un mayor grado de abstracción dieron lugar al nacimiento del álgebra. Este se divide en álgebra elemental (ecuaciones, polinomios, etc.) y álgebra abstracta, más avanzada, que nace en el siglo XIX (espacios vectoriales, anillos y cuerpos, etc.).

Las estructuras algebraicas básicas son la operación interna, el grupo, el anillo, el cuerpo, y el espacio.

Los números naturales, enteros, son los primeros números que aprendió la Humanidad, forman el conjunto N. La invención del 0 (cero) en notación posicional supuso una revolución, los romanos no lo conocían y por eso su numeración, aunque sea elegante, ya que se usa en los monumentos, es deficiente. Los números negativos fue otro gran invento, ya se conocían en las civilizaciones antiguas por causa de las deudas. Los números naturales (N), el cero y los negativos forman el conjunto de los números enteros (Z).

Pero los números también pueden ser fraccionarios, que contengan particiones de ellos, como uno y medio, que junto con el conjunto de los números enteros (Z) forma el conjunto de los números racionales (Q).

Un número irracional (su nombre lo dice todo) es un número que no puede ser expresado mediante una fracción, es decir no existe ninguna división de dos números que pueda crearlo. No constituyen ninguna estructura algebraica, ya que por decirlo de alguna manera son únicos. Como ejemplos tendríamos el número pi (𝝅), el número e, raíces cuadradas y cúbicas, etc. Si añadimos los números irracionales a los números racionales tendremos el conjunto de los números reales (R).

Los números imaginarios no existen en la vida real. Son una creación humana para resolver los múltiples problemas que surgen al intentar resolver la raíz cuadrada de un número negativo. En este sentido, han resultado ser de enorme utilidad y la vida actual no sería como la conocemos, pues muchos hallazgos tecnológicos dependen de ellos. Si a este grupo sumamos los números reales tendremos el conjunto de números complejos (C).

La teoría de conjuntos surgió como una parte de la lógica matemática a finales del siglo XIX debida principalmente a George Cantor, en medio de una gran polémica, ya que no fue generalmente aceptada en su día y le valió numerosas críticas, lo que le llevó a continuas depresiones.

A veces tampoco es aceptada o es incomprendida por los estudiantes que la consideran una mera tontería que ha tenido aceptación o un método poco acertado para explicar las cosas, pero lo cierto es que es un poderoso instrumento para acercarnos al concepto inasumible del infinito y para explicar muchas cosas que ocurren en el mundo real, de forma que podemos demostrar con la lógica lo que es cierto y rebatir fácilmente supersticiones y supercherías. En definitiva, nos ayuda a estar más cerca de la verdad. Y eso siempre es bueno.


1. Álgebra

- Lectura: Wikipedia. Álgebra


2. Estructuras algebraicas

- Lectura: E.T.S. de Caminos - U.C. Estructuras algebraicas básicas (pdf)
- Lectura: Wikiversidad. Principales conjuntos numéricos
- Vídeo: Canal de YouTube. Estructuras algebraicas



3. Teoría de conjuntos

- Lectura: Wikipedia. Teoría de conjuntos



4. Operaciones aritméticas

- Lectura: Ditutor. Operaciones básicas
- Lectura: Wikilibros. Propiedades aritméticas
- Lectura: Wikipedia. La prueba del nueve
- Lectura: The NROC Project. Orden de las operaciones
- Lectura: Wikipedia. Número negativo
- Lectura: Wikipedia. Cálculo de la raíz cuadrada


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Enrique Arrondo. Apuntes de Estructuras Algebraicas


Álgebra Lineal y Geometría

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