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Calculadoras y herramientas matemáticas online

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Cálculo de integrales con Symbolab


La utilización de mecanismos para realizar cálculos matemáticos viene de muy antiguo, desde los antiguos ábacos, a las máquinas con mecanismos de los siglos XVIII y XIX. Las sumadoras y las cajas registradoras fueron comunes hasta la segunda mitad del siglo XX. Pero es con el desarrollo de la electrónica, en la década de los 60 del siglo XX, cuando se popularizan y aumenta el uso masivo de calculadoras electrónicas. Atrás quedaban las tablas trigonométricas y de logaritmos. Este fue un primer paso. Pero luego vino otro con las calculadoras electrónicas programables, que incluso permitían resolver integrales que hacían sudar a muchos estudiantes.

El desarrollo y popularización de los ordenadores personales, a partir de la década de los 90 del siglo XX fue un avance espectacular, ya que permitió realizar todo tipo de cálculos, abriendo las posibilidades de forma extraordinaria. Al principio, mediante programas ejecutables o que se tenían que instalar, y luego, con el desarrollo de Internet, aplicaciones online, que se podían utilizar de forma gratuita e inmediata. A estas últimas va dedicado este post.


AJ Design

En inglés. Enorme conjunto de calculadoras, divididas en varios grupos, Matemáticas, Física, Ingeniería, Salud, Mecánica de fluidos, finanzas, salud. A la hora de manejar calculadoras en inglés, hay que tener en cuenta la notación anglosajona, en la que los decimales se separan con un punto, en vez de con una coma.



Conjunto de calculadoras online con distintos propósitos. Tenemos una calculadora simple (con varias variantes), una calculadora científica, una calculadora estadística, una calculadora de impresión con cinta (imitando a una real), una calculadora de porcentajes, una calculadora RPN (la Notación Polaca Inversa simplifica insertar fórmulas complejas), una calculadora  para minería bitcoin y un ábaco (como si fuera uno real).



Para calcular online derivadas con pasos y gráficas. La calculadora es muy intuitiva y está realizada con afán pedagógico. La ayuda es muy buena. Se pueden calcular primeras, segundas, …, quintas derivadas y diferenciación de funciones con muchas variables (derivadas parciales), diferenciación implícita y cálculo de raíces/ceros.



Se introduce la expresión, obteniéndose la solución, mostrando los pasos consecutivos, y la función gráfica. Da la opción de simplificar la solución y exportar en los formatos LaTex, sistema de álgebra computacional Máxima, y calculadora de derivadas/integrales.



Se escribe la expresión, admitiendo hasta cuatro variables (x, y, w, y z), y las operaciones AND (y), OR (o) y NOT (o). A continuación se introduce el valor de las variables. Haciendo click en Resultado, se obtiene la solución.



Conjunto de calculadoras, con múltiples aplicaciones entre las que están las Matemáticas, Física, Trigonometría, matrices, cambio de divisas y de unidades (distancia, talla de ropa, etc.)., y otras calculadoras, como son de embarazo, salud, coche, etc.



Esta calculadora calcula la suma o diferencia de dos o más vectores. Se introducen sus coordenadas polares o cartesianas (la aplicación da la conversión de ambas), obteniéndose tanto el resultado numérico como el gráfico.


Calculadora de vectores WIMS

Permite realizar cálculos con vectores, pudiendo ser números reales o complejos, así como expresiones paramétricas. Las operaciones posibles son análisis de independencia lineal, combinación lineal, complemento ortogonal, visualización de los vectores, producto escalar, y producto vectorial


Calculadoras matemáticas online

Conjunto de calculadoras online en una misma web, mediante las cuales se pueden resolver ecuaciones, operar con matrices, polinomios, realizar productos vectoriales, cálculos trigonométricos, resolver ecuaciones logarítmicas, límites de funciones, etc.


Calculadoras online

Web que contiene una serie de calculadoras, no sólo de matemáticas, sino también de nutrición, financieras, embarazo, deporte, informática, etc. La calculadora científica proporciona cálculo en trigonometría, estadística, raíces, etc.


Calcuvio

Conjunto de calculadora, no sólo de Matemáticas, sino también de Ingeniería, Física, Finanzas, Estadística, y Salud. Entre otras operaciones proporcionan cálculo en trigonometría, conversión de unidades, geometría, número complejos, matrices. En Ingeniería, cálculo de resistencias, engranajes, círculo de Mohr, ley de Hooke, momentos de inercia, etc. En Física, movimientos, fuerzas y aceleraciones, velocidad angular, resortes y muelles, etc. En Finanzas, interés simple y y compuesto, hipotecas, etc. En estadística, valores centrales, desviaciones, cuartiles, etc. Y en salud, varios índices y tasa de metabolismo basal.



Calculadora centrada en la estadística y la probabilidad, que permite el cálculo de números aleatorios y combinatorios, así como estadística con una y dos variables, Su interfaz tiene la apariencia de una sofisticada calculadora científica. 


El Imperio de los Números

Conjunto de herramientas matemáticas comprendiendo calculadora de derivadas e integrales, límites, series, solución de ecuaciones, simplificador de expresiones, factorización, series de Taylor, matrices, formas 2D y 3D, números de Fibonacci, Bernoulli, Euler, números complejos, combinatoria, fracciones, estadística y ecuaciones LaTex.



Conjunto de calculadoras, principalmente geométricas, ofreciendo el cálculo de triángulos, áreas, volúmenes, puntos medios de geometría 3D, anillos, círculos inscritos, Teorema de Pitágoras, trigonometría, etc.


GeoGebra

Ofrece calculadoras gráficas,  para 3D, científicas y geométricas, además de numerosos recursos para estudiantes. 


Google

El más famoso buscador puede usarse para realizar cálculos sencillos. Además de los operadores de suma, resta, multiplicación y división, se pueden obtener potencias (^), raíces (sqr), logaritmos (log y ln), y funciones trigonométricas (sin, cos, y tan). Al usar estos operadores se abre una interfaz de calculadora clásica. 


Keisan Online Calculator

En inglés. Calculadora de alta precisión de Casio. pera con 22 dígitos de precisión, pudiendo aumentar hasta los 130 dígitos.



Conjunto de herramientas de cálculo dedicadas a la Ingeniería, que permiten realizar las siguientes operaciones: gases (densidad, volumen, gases ideales, etc.), líquidos (presión, número de Reynolds, pérdida de carga, etc.), electricidad y electrónica (resistencias, tensión, condensadores, etc.), psicometría (entalpía, presión de vapor, rocía, etc.), óptica (frecuencia, snell, dioptrías, etc.), y varios (ruido, luxes, longitud de onda, etc.). También dedica recursos al desarrollo de aplicaciones de cálculo a medida (software).



Ofrece veinte calculadoras, para el cálculo de hipotecas, porcentajes, áreas, volúmenes, financiera, husos horarios, IVA, cálculo de peso, calorías, euro, ovulación, y ¡hasta amor según nombres y apellidos!


Calculadora que permite calcular un determinante, un rango, una suma de matrices, un producto de matrices, una matriz inversa y otros. En resumen, esta calculadora proporciona operaciones con matrices, solución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo con determinantes, y cálculo de valores propios y vectores propios.



Completo sitio web en el que se dan consejos para comprar una calculadora científica, según las necesidades, ya sea para la enseñanza o la práctica profesional, con información sobre tipos y marcas. También posee la web una calculadora online con las principales operaciones utilizadas. 


OnlineMSSchool

Web dedicada al aprendizaje de las matemáticas online, Tiene calculadoras de teoría de números, conversión de magnitudes, fracciones, porcentajes, ecuaciones, gráficos, progresiones, funciones, límites, combinatoria, probabilidad, números complejos, vectores, matrices, geometría, resolución de integrales, etc, 


Tabla periódica de los elementos - periodni

Sitio web dedicado a la tabla periódica de los elementos, y a la Química en general, que tiene una calculadora centrada principalmente en esta ciencia, pudiéndose utilizar para calcular soluciones, mezclas de gases, masa molar, etc.


Para practicar y desarrollar lógica matemática. Tiene un vídeo de ayuda. Se introduce la expresión lógica mediante botones, y luego haciendo clic en Generar Tabla, esta es mostrada. 


snapXam

Enorme conjunto de calculadoras, ofreciendo, entre otras, aritmética, binomios, factorización, fracciones, método FOIL, integración, mínimo común múltiplo, derivadas, ecuaciones e inecuaciones, polinomios, integración por sustitución de Weierstrass, trigonometría, límites, etc.


Solumaths

Calculadora que permite operar con números complejos, matrices, vectores, ecuaciones, trigonometría, desigualdades, fracciones, resolver integrales, etc. Es un completo software matemático online gratuito.


Symbolab

Extraordinario paquete de herramientas matemáticas, que entre otras, incluye herramientas de Álgebra, Cálculo (con resolución de integrales), estadística, funciones, matrices y vectores, Trigonometría, Estadística, y calculadora gráfica. Muy recomendable.


Web 2.0 Calc

Esta calculadora matemática online, además de presentar una interfaz de una calculadora científica clásica de mano, también permite realizar cálculo con números complejos, resolver ecuaciones, realizar cálculo diferencial, trigonometría, construir gráficas de funciones, etc.


Como conclusión, simplemente decir que las Matemáticas son mucho más que el cálculo matemático o el tratamiento de los números. Así es como enseñan matemáticas en una de las universidades más caras y mejores del mundo.



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Matrices y determinantes


¿Qué es una matriz? Es una ordenación de números en filas y columnas, siendo su dimensión filas x columnas. Es un instrumento matemático para organizar información numérica.

Es una herramienta enormemente versátil, ya que tiene aplicaciones prácticamente para todo. Una de las más conocidas es la resolución de sistema de ecuaciones lineales. Pero no es la única. Hay aplicaciones en ciencias sociales, ingeniería, informática, robótica, astronomía, estadística, geometría, etc.

Por ejemplo, si pudiésemos expresar con una matriz la configuración atómica y molecular (sólo se sabe y con incertidumbres la del elemento más simple, el hidrógeno) podríamos crear certeras moléculas contra el cáncer que lo destruirían de forma sencilla sin dañar nada más. Hoy día estamos lejos de este objetivo, ya que desconocemos muchos datos de la configuración atómica y molecular, y además los cálculos que tendrían que realizar serían gigantescos...

Una matriz es cuadrada, si tiene el mismo número de filas que de columnas; si no, es rectangular, pudiendo ser vertical, si tiene más filas, y horizontal si tiene más columnas. Un caso especial de matriz vertical es la matriz columna, que sólo tiene una, y de matriz horizontal la matriz fila, que sólo tiene una. La matriz diagonal tiene todos los valores nulos (con cero) excepto la diagonal, que será escalar si todos los elementos de la diagonal son iguales, e identidad si todos son el número 1. Una matriz nula o cero tiene todos los elementos nulos (cero, 0). Una matriz es traspuesta de otra si conciden las filas con sus columnas y viceversa.

Con las matrices se pueden realizar varios tipos de operaciones, como trasponerlas (es como un reflejo de sus elementos), sumarlas, restarlas, multiplicarlas entre ellas o por un escalar, e invertirlas, siendo una matriz inversa, la que posee ciertas propiedades.

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Son las matrices que más se usan en álgebra.

El rango en álgebra es la dimensión en conjunto imagen de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales. El rango en una matriz es el número de columnas o filas respectivamente que son linealmente independientes. De esta forma se descartan filas o columnas nulas, iguales, o que son combinaciones lineales o proporcionales de otras.

Los determinantes se crearon antes que las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero es en el siglo XIX, cuando se da impulso a su teoría y se empieza a usar su notación actual.

Entre los métodos de cálculo de determinantes, destaca la Regla de Sarrús para determinantes de 3 filas y 3 columnas.

Los determinantes, además de su uso para cálculo matricial y resolución de ecuaciones lineales, también se pueden emplear, entre otras aplicaciones, para cálculos en el plano, posiciones de rectas y planos, cálculo de volúmenes, como aplicaciones matemáticas.




1. MATRICES


1. Definición de matriz

- Lectura: Wikipedia. Matríz (matemáticas) (parte correspondiente)
- Lectura: Descartes. Introducción al cálculo matricial (parte correspondiente)

- Lectura: Julián de la Horra (UAM). Cálculo matricial (pdf) (parte correspondiente) 




2. Tipos de matrices

- Lectura: Wikilibros. Tipos de matrices
- Lectura: Carlos Orihuela Romero. Matrices y determinantes (pags. 24-26)
- Vídeo: Videos CESUVER. Tipos de Matrices



3. Operaciones con matrices y sus propiedades

- Lectura: Wikipedia. Matríz (matemáticas) (parte correspondiente)
- Vídeo: Professor.ingeniero. OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición

- Vídeo: Pau Fernández. Trasponer una matriz
- Vídeo: Canal Mistercinco. Traspuesta de una matriz

Suma y diferencia de matrices

- Vídeo: Math2me. Suma y resta de matrices

Producto de una matriz por un escalar

- Vídeo: Educatina. Producto de una matriz por un escalar

Producto de matrices

- Vídeo: Professor.ingeniero. Producto de matrices

Inversión

El cálculo de la matriz inversa se puede realizar por determinantes y adjunto o por el método de Gauss, que veremos en el siguiente epígrafe.




4. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

- Lectura: Mates fácil. Matriz inversa por Gauss

- Vídeo: Videoejercicios. Método de Gauss-Jordan. Inversión de matrices



4. Matrices cuadradas

- Lectura: Wikipedia. Matriz cuadrada



5. Rango de una matriz

Se llama menor de orden p de una matriz al determinante resultante al eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. En una matriz cualquiera  Am×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado. El rango (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero.

Este concepto está unido al de determinantes.

- Lectura: Superprof. Rango de una matriz. Cálculo por determinantes



6. Aplicaciones de las matrices

- Lectura: INTEF-EDUCA LAB. Matrices y determinantes




2. DETERMINANTES


1. Definición de determinante

- Lectura: Wikipedia. Determinante (matemáticas)



2. Cálculo de determinantes de una matriz

- Presentación: That Quiz. Determinante de una matriz
- Vídeo: Lasmatematicas.es. Determinante de una matriz 4 x 4
- Vídeo: Khan Academy. Determinante n x n



3. La regla de Sarrus

- Lectura: Wikipedia. Regla de Sarrús
- Lectura: Yo soy tu profe. Regla de Sarrús



4. Propiedades de los determinantes

- Lectura: Hiru. Propiedades de los determinantes



5. Aplicaciones de los determinantes

- Lectura: Thales. Aplicaciones de los determinantes
- Lectura: Lemat. Más aplicaciones del determinante
- Vídeo: Danielsteven. Aplicaciones de matrices y determinantes a la Ingeniería Quimica



Problemas resueltos

- Problemas: J.M. Pérez S-González-UV. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
- Problemas: J.M. Martínez Mediano-UAH. Matrices y determinantes
- Problemas: Cálculo CC. Problemas resueltos de cálculo del rango por determinantes
- Problemas: Wikihow. Como encontrar el determinante de una matriz 3 x 3
- Problemas: Vitutor. Cálculo de determinantes
- Vídeo: Professor.ingeniero. OPERACIONES CON MATRICES ejercicios resueltos


Calculadoras online de matrices y determinantes

- Aplicación: Matrix calculator. Operaciones con matrices
- Aplicación: Mates fácil. Calculadora de Determinante de una matriz de dimensión 2x2, 3x3 y 4x4
- Aplicación: OnlineMSchool. Online calculadora. Determinante de matriz
- Aplicación: Symbolab. Calculadora para el determinante de una matriz y Calculadora de matrices
- Aplicación: Matrix Reshish. Calculadora de matrices
- Aplicación: Xuletas. Cálculo de matrices paso a paso
- Aplicación: Calculadora de matemáticas. Calculadora de matrices
- Aplicación: Didactalia. Calculadora de determinantes
- Aplicación: Marcelo Valenzuela. Cálculo de determinantes 2 x 2 a 5 x 5
- Web: Rincón didáctico Matemáticas. Programas Wiris y Wpmáxima


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: AGA Virtual. Determinante de una matriz
- Lectura: IES As Telleiras. Matrices y determinanes (pdf)
- Lectura: Escuela de Naútica-EUS. Matrices y determinantes
- Lectura: Junta de Andalucía-Averroes. Matrices y determinantes (pdf)
- Lectura: Matemáticas online. Matrices y determinantes (pdf)
- Lectura: Universidad de Antioquía. Determinantes
- Lecturas: M.D. Moreno-UCLM. Matrices y determinantes
- Lectura: Thales. Matrices y determinantes
- Lectura: P.J. Herero Piñeiro. Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: G. Jarne, E. Minguillón, T. Zabal. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: J. Medina Molina. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: Sixto Romero-UHU. Matrices y determinantes
- Lectura: ESI-US. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales


Álgebra Lineal y Geometría
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Ecuaciones algebraicas


Ecuaciones algebraicas

Un polinomio es un expresión algebraica que contiene variables, las x (y,z, etc), que son valores desconocidos, y números, que pueden ser coeficientes, que multiplican a la variable, y constantes, números independientes. La variable puede estar elevada a un determinada potencia, el exponente, que incluso puede ser el cero. El número máximo de exponente es el grado del polinomio.

Los polinomios son fundamentales en la ciencia. Han demostrado su enorme utilidad en física, química, ingeniería, economía, y ciencias sociales, pero no sólo en estas ciencias, sino también, por citar algunas, en biología, medicina, ecología, etc.

Una ecuación algebraica es una expresión polinómica que se iguala a cero. Las soluciones, llamadas raíces o ceros, son tantas como sea su grado. La ecuación de primer grado, o lineal (porque su representación es una línea), no ofrece ningún problema. Para resolver una ecuación de segunda grado emplearemos la fórmula correspondiente. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron estudiadas, entre otros, por Caramo y Tartaglia, que obtuvieron su fórmula. Para las ecuaciones de quinto grado y superiores no siempre se pueden obtener soluciones por el método de los radicales, como demostró Galois a principios del siglo XIX.

Si tenemos varias ecuaciones lineales, de primer grado, con varias variables, si tenemos tantas ecuaciones como variables, tendremos un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es relativamente sencillo no resulta muy difícil despejar las variables por sustitución, igualación o reducción, pero si el sistema es complicado, esta tarea puede resultar trabajosa, por lo que para ello se pueden utilizar matrices, siempre que el sistema sea de Cramer, es decir, que tenga una única solución.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, de primer grado, se pueden resolver de tres formas distintas: algebraica, despejando las incógnitas; geométrica, representando las funciones, o mediante matrices.

Las ecuaciones  de  Cardano-Vieta  permiten  expresar  los  coeficientes  de  un  polinomio de cualquier grado, en función de sus raíces, siendo de enorme utilidad. Sin embargo, tienen un fallo:no se puede saber si las raíces obtenidos como solución del sistema de ecuaciones son reales o complejas.

La acotación de raíces consiste en obtener las cotas superiores e inferiores de las raíces. Se utilizan los métodos de Laguerre y de Newton.

La separación de raíces es el segundo paso para hallar las raíces. Sabiendo que están en un intervalo, se separan, en intervalos en los que se puede afirmar que hay una raíz y sólo una. Además de separarse las raíces de un polinomio por medio de su derivada, se usan los métodos de Rolle, Budan-Fourier, de Sturm, y de Harrior-Descartes.

El último paso es el de aproximación de raíces. Para ello, separadas en intervalos, las vamos aproximando a la solución. Se usa el método de Newton, de Horner, de Budan-Fourier, de la Regula Falsi, y el general de iteración.


1. Polinomios

- Lectura: J. Martinez Mediano. Polinomios y otras expresiones algebraicas (pdf)
- Lectura: Wikipedia. Polinomio
- Lectura: Superprof. Polinomios
- Lectura: Khan Academy. Introducción a los polinomios
- Lectura: Vitutor. Operaciones con polinomios
- Lectura: Wikipedia. Regla de Ruffini
- Ejercicios: Matemáticas jjp. Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Ejercicios: Universidad de Zaragoza (OCW). Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de polinomios
- Herramienta: Matematicas Online. Suma y resta de polinomios



2. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

- Lectura: Wikipedia. Ecuación algebraica
- Lectura y problemas: Vitutor. Ecuaciones lineales
- Lectura: Wikipedia. Sistema de ecuaciones lineales
- Lectura: Espanito. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Rouché–Frobenius
- Herramienta: WIMS. Solucionador de sistemas lineales
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de ecuaciones
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de desigualdades
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de sistemas de ecuaciones



3. Ecuaciones de Cardano-Vieta

- Lectura: Wikipedia. Relaciones de Cardano-Vieta
- Lectura: U. de Navarra. Polinomios y relaciones de Cardano-Vieta (pdf)
- Ejercicios: Fernando Revilla. Fórmulas de Cardano-Vieta



4. Raíces de una ecuación algebraica. Resolución algebraica o numérica. Ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado

- Lectura: Wladimiro Díaz Villanueva. Cálculo de raíces de ecuaciones
- Lectura: Curso interactivo de Física en Internet: Raíces de una ecuación



5. Acotación de raíces

- Lectura: Educajob. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: U. de Oviedo. Raíces de ecuaciones no lineales



6. Separación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: Aula Abierta de Matemáticas. Resolución de ecuaciones
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Sturm




7. Aproximación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: CEDE. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces (pdf)
- Presentación: Antonio Herrera Escudero (U. Veracruzana). Raíces de polinomios (pdf)




Ejercicios resueltos de ecuaciones algebraicas

- Ejercicios:Apuntes marea verde. Ecuaciones y sistemas
- Ejercicios: OEI. Problemas cuadráticos de Olimpiadas (pdf)
- Ejercicios: Colexio Abrente. Ecuaciones y sistemas de 1º y 2º grado (pdf)
- Ejercicios: Jesús Montserrat Torrecillas. Métodos Numéricos en el Ámbito Naval (parte correspondiente, pdf)


Algebra Lineal y Geometría
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Análisis combinatorio

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Permutación

La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones y agrupaciones de los elementos. Sus aplicaciones son enormes, sobre todo en la informática, la estadística y el cálculo de probabilidades. En la vida cotidiana tenemos numerosos ejemplos de aplicación.

Tengo que organizar un evento en el que habrá una comida con comensales en varias mesas, ¿cuántas formas distintas tengo de distribuirlas?

Estoy decorando la casa y en mueble tengo un espacio para tres figuras y tengo diez distintas, ¿cuántas posibilidades tengo si influye el orden de colocación?

La Lotería Primitiva consiste en elegir 6 números elegidos desde el 1 al 49, ¿qué probabilidades tengo de acertar?

Las variaciones se dan cuando de un grupo de elementos hacemos agrupaciones menores. Cada una de estas agrupaciones menores se distingue de otra por el orden por los elementos que contiene y como están colocados, es decir, influye el orden.

En las permutaciones de un grupo de elementos creamos todos los grupos posibles con todos los elementos, siendo cada grupo distinto de otro por el orden en el que están colocados.

Las combinaciones son similares a las variaciones, pero en este caso en las agrupaciones menores no influye el orden, sólo se distinguen por los elementos que contengan.

Fue Newton, como otras tantas y tan importantes aportaciones, el que usando la tabla de coeficientes binomiales del matemático persa medieval Al-Karaŷí y los métodos de interpolación y extrapolación de John Wallis, descubrió el desarrollo del binomio y fue la honradez de Wallis la que reconoció su autoría, ya que Newton nunca publicó el descubrimiento, haciéndolo aquel.

Las variaciones, permutaciones y combinaciones también pueden ser con repetición, que ocurre cuando se pueden repetir los elementos, pudiendo haber, como es lógico, muchas más posibilidades.


1. Variaciones

- Lectura: Vitutor. Variaciones ordinarias
- Lectura: Va de numeros. Variaciones ordinarias
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Lectura: Wikipedia. Factorial
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones ordinarias



2. Permutaciones

- Lectura: Vitutor. Permutaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones ordinarias



3. Combinaciones. Número combinatorio

- Lectura: Vitutor. Combinaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones ordinarias
- Lectura: Vitutor. Número combinatorio



4. Binomio de Newton

- Lectura: Vitutor. Binomio de Newton
- Lectura: Wikipedia. Teorema del binomio
- Lectura: INTEF. Binomio de Newton



5. Variaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Variaciones con repetición
- Lectura: Ekuatio. Variaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones con repetición



6. Permutaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Permutaciones con repetición
- Lectura: Instituto Tecnológico de Chihuahua. Permutaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones con repetición



7. Combinaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Combinaciones con repetición
- Lectura: Wikipedia. Combinaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones con repetición



Ejercicios resueltos de combinatoria

- Ejercicios: Xunta de Galicia. Ejercicios Resueltos Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Vitutor. Problemas de Combinatoria
- Ejercicios: Facultad de Ingeniería - URU. 68 ejercicios de combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Cajón de Ciencias. Problemas resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas Webcindario. Ejercicios resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Problemas resueltos Matemáticas. Combinatoria
- Ejercicios: I.E.S. Sant Vicent. Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Combinatoria (pdf)


Algebra Lineal y Geometría
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Números complejos



Aunque parezca que son algo moderno, la necesidad de contar con los números complejos ya se plantea entre los matemáticos de la Antigua Grecia. Sin embargo, su gestación hasta llegar a la forma actual ha sido progresiva. Se plantea su clara necesidad para resolver los polinomios de segundo y tercer grado en el siglo XVI. En el siglo XVII Descartes los denomina como números imaginarios, término hoy en desuso. Sin embargo, la indiferencia ante ellos hace que no se desarrollen. Pero a principios del siglo XIX Wessel y Argand sientan sus bases y Gauss los bautiza con su nombre actual. También en ese siglo se crea su simbología con pares de números reales.

Los números complejos han sido fundamentales para el desarrollo de la física cuántica, así como para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas.

Un caso especial de la fórmula de Euler es la llamada identidad de Euler, que relaciona cinco números clave de la historia de las Matemáticas, que son:

- El 0: la no existencia

- El 1: la unidad

- π: pi, la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, numero irracional, 3,1416...

- e: el número e, base de los logaritmos naturales, aparece en las fórmulas de interés compuesto y es el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)n, que lejos de ser un artificio es un número que aparece constantemente en la Naturaleza, es irracional, siendo 2,7182...

- i: raíz cuadrada de -1, número imaginario

La identidad de Euler es la siguiente:
e + 1 = 0

¿Cómo se llega hasta aquí? Si la fórmula de Euler es:

eix = cosx + isenx

Sustituyendo x, cualquier número real, por π tenemos:

e = cosπ + isenπ

Como cosπ = -1 y senπ = 0:
e = -1 + 0

De aquí se llega fácilmente a la identidad de Euler:

e + 1 = 0

Que se ha dicho de la misma que es


1. Números complejos. Representación

- Lectura: Wikipedia. Número complejo
- Lectura: Vitutor. Números complejos



2. Operaciones con los números complejos

- Lectura: Ditutor. Números complejos
- Lectura: Khan Academy. Números complejos
- Lectura: Invitación a las Matemáticas. Números complejos
- Lectura: AGA Virtual. Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
- Herramienta: SoloMaths. Calculadora de números complejos



3. Potencias y raíces

- Lectura: Aula Fácil. Potencias y raíces de números complejos
- Lectura: Sangaku Maths. Potencias y raíces de complejos en forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)
- Presentación: Sabrina Dechima. Potencia y raíz de números complejos



4. Forma exponencial de un número complejo

- Lectura: Sangaku Maths. Números complejos en forma exponencial
- Lectura: AGA Virtual. Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
- Lectura: ETS de Naútica y Máquinas Navales - UPV. Números complejos



5. Fórmula de Euler

- Lectura: Wikipedia. Fórmula de Euler
- Lectura: Estudiar Física. Ecuación de Euler y teorema fundamental del álgebra




6. Logaritmo de números complejos

- Lectura: My complex soul. Logaritmo de números complejos
- Lectura: Silvia Carmen Morelos Escobar y José David Zaldívar Rojas. El logaritmo en los números complejos (pdf)
- Lectura: Dpto. Matemáticas - U.Murcia. Logaritmos y números complejos (pdf)
- Presentación: Paula Azabal Rubio. Logaritmos de los números complejos



Ejercicios resueltos de números complejos

- Ejercicios: Vitutor. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: G. Jarné; E. Minguillón; T. Zobal. Ejercicios resueltos de números complejos (pdf)
- Ejercicios: Profesor de mates 10. Números complejos. Ejercicios de exámenes
- Ejercicios: Va de números. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: Elena Álvarez Sáiz. Ejercicios resueltos. Números complejos (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Ejercicios de números complejos (pdf)


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Wikipedia. Logaritmo complejo


Algebra Lineal y Geometría
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Álgebra y estructuras algebraicas

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Álgebra

Desde los orígenes de la Humanidad siempre ha habido necesidad de contar. El comportamiento simbólico humano nace hace unos 40.000-50.000 años. Al principio se hizo con los dedos de la mano, por ello no es casualidad que nuestro sistema de numeración sea decimal.

Numerar, sumar y restar fueron las primeras operaciones básicas. Pero también había que repartir y de esta manera nacieron la multiplicación y la división. Así nació la aritmética. Al avanzar la sociedad, la necesidad de cálculos complejos y un mayor grado de abstracción dieron lugar al nacimiento del álgebra. Este se divide en álgebra elemental (ecuaciones, polinomios, etc.) y álgebra abstracta, más avanzada, que nace en el siglo XIX (espacios vectoriales, anillos y cuerpos, etc.).

Las estructuras algebraicas básicas son la operación interna, el grupo, el anillo, el cuerpo, y el espacio.

Los números naturales, enteros, son los primeros números que aprendió la Humanidad, forman el conjunto N. La invención del 0 (cero) en notación posicional supuso una revolución, los romanos no lo conocían y por eso su numeración, aunque sea elegante, ya que se usa en los monumentos, es deficiente. Los números negativos fue otro gran invento, ya se conocían en las civilizaciones antiguas por causa de las deudas. Los números naturales (N), el cero y los negativos forman el conjunto de los números enteros (Z).

Pero los números también pueden ser fraccionarios, que contengan particiones de ellos, como uno y medio, que junto con el conjunto de los números enteros (Z) forma el conjunto de los números racionales (Q).

Un número irracional (su nombre lo dice todo) es un número que no puede ser expresado mediante una fracción, es decir no existe ninguna división de dos números que pueda crearlo. No constituyen ninguna estructura algebraica, ya que por decirlo de alguna manera son únicos. Como ejemplos tendríamos el número pi (𝝅), el número e, raíces cuadradas y cúbicas, etc. Si añadimos los números irracionales a los números racionales tendremos el conjunto de los números reales (R).

Los números imaginarios no existen en la vida real. Son una creación humana para resolver los múltiples problemas que surgen al intentar resolver la raíz cuadrada de un número negativo. En este sentido, han resultado ser de enorme utilidad y la vida actual no sería como la conocemos, pues muchos hallazgos tecnológicos dependen de ellos. Si a este grupo sumamos los números reales tendremos el conjunto de números complejos (C).

La teoría de conjuntos surgió como una parte de la lógica matemática a finales del siglo XIX debida principalmente a George Cantor, en medio de una gran polémica, ya que no fue generalmente aceptada en su día y le valió numerosas críticas, lo que le llevó a continuas depresiones.

A veces tampoco es aceptada o es incomprendida por los estudiantes que la consideran una mera tontería que ha tenido aceptación o un método poco acertado para explicar las cosas, pero lo cierto es que es un poderoso instrumento para acercarnos al concepto inasumible del infinito y para explicar muchas cosas que ocurren en el mundo real, de forma que podemos demostrar con la lógica lo que es cierto y rebatir fácilmente supersticiones y supercherías. En definitiva, nos ayuda a estar más cerca de la verdad. Y eso siempre es bueno.


1. Álgebra

- Lectura: Wikipedia. Álgebra


2. Estructuras algebraicas

- Lectura: E.T.S. de Caminos - U.C. Estructuras algebraicas básicas (pdf)
- Lectura: Wikiversidad. Principales conjuntos numéricos
- Vídeo: Canal de YouTube. Estructuras algebraicas



3. Teoría de conjuntos

- Lectura: Wikipedia. Teoría de conjuntos



4. Operaciones aritméticas

- Lectura: Ditutor. Operaciones básicas
- Lectura: Wikilibros. Propiedades aritméticas
- Lectura: Wikipedia. La prueba del nueve
- Lectura: The NROC Project. Orden de las operaciones
- Lectura: Wikipedia. Número negativo
- Lectura: Wikipedia. Cálculo de la raíz cuadrada


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Enrique Arrondo. Apuntes de Estructuras Algebraicas


Álgebra Lineal y Geometría

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Sistema de numeración binaria. Práctica virtual

Numeración binaria

El sistema de números que utilizamos es el sistema decimal, en el que las cantidades usan como base aritmética las potencias del número diez. Se piensa que se originó porque tenemos diez dedos en las manos. Es el usado en el mundo, exceptuando ciertas culturas, como los antiguos mayas.

En cuanto a los símbolos, en el mundo occidental en la Antigüedad se usó el sistema romano (y aún se usa en ámbitos formales y solemnes) pero no posibilitó el desarrollo de las matemáticas por la dificultad de las operaciones complejas y la ausencia del número 0. Fue sustituido por el sistema arábigo, surgido en la India e introducido por los árabes.

Hasta el siglo XIX, Bacon y Leibniz trataron el sistema binario, pero sin aplicaciones prácticas. A mediados del siglo XIX, George Boole crea un sistema lógico llamado Álgebra de Boole, que muchos años más tarde resultaría ser esencial en el desarrollo de la electrónica.

Pero sería con el desarrollo de la Informática y los computadores cuando el sistema binario adquiriría su importancia. Un sistema informático o de computación es un sistema electrónico en el que se trabaja con dos niveles de voltaje, encendido y apagado, encendido es 1 y apagado es 0. Por tanto, la numeración que usan los ordenadores es la numeración binaria, y por es esta razón es importante conocer su fundamento.


Introducción

- Lectura: Wikipedia. Sistema binario


Guión de la práctica

El objetivo de la práctica es familiarizar con el sistema binario, respondiendo a una serie de ejercicios. En el primero se aprenderá como se convierte un número de decimal a binario de forma manual y en los siguientes se realizarán operaciones de cierta complejidad de manera más automatizada.

1. Convertir el número 156 en binario de forma manual.

2. Convertir los números 26 y 3 en binario, realizar las siguientes operaciones 26 + 3, 26 - 3, 26 x 3 y 26 /3, en forma manual.

Acceder a la siguiente calculadora online que convierte números de decimal a binario y viceversa:


3. Realizar la siguiente operación de números binarios: 1111010101 x 1101011110 x 1111111100, dando el resultado en binario. Para ello transformar los número a sistema decimal, hacer la operación en el mismo y pasar el resultado a sistema binario.

Acceder a calculadoras binarias online, para realizar operaciones complejas en binario. Se pueden utilizar los siguientes enlaces:





4. Realizar las siguientes operaciones: 10101101010101 + 111110100001, y 11101010101011 - 10000111010

5. Realizar las siguientes operaciones: 1011111110111 * 11111100, y 101111000010101 / 10111100


Solución de los ejercicios propuestos

Se puede consultar la solución de los ejercicios propuestos en la siguiente entrada:



Preguntas y actividades

1.- Crear y realizar operaciones en sistema binario. Para comprobar la solución, transformar los números a decimal.

2.- La operación manual con números binarios en que es más fácil equivocarse en la resta o sustracción. Practicar hasta dominarla. Además del vídeo que aparece en la solución, se puede ver este otro.

3.- Dada la facilidad de equivocación en la resta de números binarios, otra posibilidad es usar el complemento a dos, transformando la resta en una suma. Consultar este enlace.de operaciones en complemento a 2.


Introducción a la Programación
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Sistema de numeración binaria. Práctica virtual. Solución de los ejercicios propuestos

Numeración binaria

Solución de los ejercicios propuestos en la práctica virtual Sistema de numeración binaria.


1. Convertir el número 156 en binario de forma manual

156 dividido entre 2 da 78 y el resto es igual a 0
78 dividido entre 2 da 39 y el resto es igual a 0
39 dividido entre 2 da 19 y el resto es igual a 1
19 dividido entre 2 da 9  y el resto es igual a 1
9 dividido entre 2 da 4  y el resto es igual a 1
4 dividido entre 2 da 2  y el resto es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1

Ordenando los restos, del último al primero, tenemos el número binario: 10011100


2. Convertir los números 26 y 3 en binario, realizar las siguientes operaciones 26 + 3, 26 - 3, 26 x 3 y 26 / 3, en forma manual.


Convertir los números en binario

26 dividido entre 2 da 13 y el resto es igual a 0
13 dividido entre 2 da 6 y el resto es igual a 1
6 dividido entre 2 da 3 y el resto es igual a 0
3 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 1
1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1

Ordenando los restos, del último al primero, tenemos el número binario: 11010

3 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 1
1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1

Ordenando los restos, del último al primero, tenemos el número binario: 11


26 + 3:

Las combinaciones al sumar dos bits son

- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10

Empezamos a sumar desde la derecha, 0 + 1 = 1; siguiente 1 + 1 = 10, escribiendo 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama  arrastre) y se suma el arrastre a la siguiente columna: 1 + 0 = 1, terminando con 11:

    11010
+        11
---------
    11101


26 - 3:

Las restas básicas son:

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 =  1, no cabe o se pide prestado al próximo

Para que los dos números binarios que intervienen tengan las misma cifras se añaden ceros a la izquierda del menor.

La resta 0 - 1 se resuelve, como en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la siguiente posición: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale en decimal, 2 - 1 = 1. Esta unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.

Segunda posición: esta al ser 1 - 1 = 0, como tenemos que arrastrar  es como si empezaramos colocando el 1 del arrastre antes de ellos, así 1 -1 = 0, 0 -1 = 1... y continuamos arrastrando el 1 (en Hispanoamérica también lo llaman acarreo).

Tercera posición, colocamos el 1 antes de los dos ceros, y sería 0 -1 = 1, 1 - 0 = 1... y sigue el arrastre.

Cuarta posición, colocamos el 1 del arrastre por encima, 1 -1 = 0, y 0 - 0 = 1. Y ya no arrastramos, ya que no sobra. Quinta posición, sin problema, 1 - 0 = 1.

   11010
-  00011
---------
   10111

En este vídeo, lo podemos ver bien explicado:



26 x 3

La multiplicación es más sencilla, ya que se asemeja a la del sistema decimal, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

                   11010
                x       11
                ---------
                   11010
                 11010
                ---------
               1001110

26 / 3


La división en sistema binario es parecida a la decimal, pero a la hora de hacer las restas de la división se harán en binario.

     11010  / 11
                 -----
    -11          1000
    ------
     000
  -   00
   ------
     0001
   -    00
    ------
     0010
    -   00
    ------
        10

Como vemos 26 entre 3 da 1000 en binario, que en decimal es 8, y como resto da 10 en binario, que en decimal es 2.


3. Realizar la siguiente operación de números binarios: 1111010101 x 1101011110 x 1111111100, dando el resultado en binario. Para ello transformar los número a sistema decimal, hacer la operación en el mismo y pasar el resultado a sistema binario.

Los números en sistema decimal son los siguientes:

- 1111010101 = 981

- 1101011110 = 862

- 1111111100 = 1020

Luego la operación es 981 * 862 * 1020 = 862534440, que en binario es 110011011010010011101100101000


4. Realizar las siguientes operaciones: 10101101010101 + 111110100001, y 11101010101011 - 10000111010

 - 10101101010101 + 111110100001 = 11101011110110

- 11101010101011 - 10000111010 = 011011001110001


5. Realizar las siguientes operaciones: 1011111110111 * 11111100, y 101111000010101 / 10111100

- 1011111110111 * 11111100 = 101111001011100100100

- 101111000010101 / 10111100 = 10000000, resto = 010101


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Símbolos matemáticos

lasMatematicas.es es una web creada por el doctor en Matemáticas Juan Medina Molina, que imparte materias de esta ciencia en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de la Universidad Politécnica de Cartagena.

La web contiene numerosos recursos y vídeos, cuyo aspecto principal es el esfuerzo por hacerse entender, es decir, son vídeos enormemente didácticos. Un buen profesor debe dominar la materia que imparte, pero debe ser también buen pedagogo y esas dos características las reúne el creador del sitio web.

Las matemáticas suelen ser tomadas como una materia árida, pero imprescindible en el conocimiento científico. Pero no sólo son importantes en la ciencias experimentales, también son imprescindibles en las ciencias sociales, como la Estadística, Política, Economía, etc. En la educación secundaria y en la primaria son materia obligatoria por esta razones obvias.

Las materias matemáticas son las que más esfuerzo suelen costar a los alumnos y las que suelen tener mayor número de suspensos. ¿Es algo inevitable? Parece ser que no, en realidad esto no debería ser así, se requiere un esfuerzo pedagógico, además de una adecuada metodología. Su dominio requiere una adecuada explicación por parte del profesor y una adecuada metodología por parte del alumno.


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