Mostrando entradas con la etiqueta Matemáticas. Mostrar todas las entradas
Mostrando entradas con la etiqueta Matemáticas. Mostrar todas las entradas

Ecuaciones algebraicas


Ecuaciones algebraicas

Un polinomio es un expresión algebraica que contiene variables, las x (y,z, etc), que son valores desconocidos, y números, que pueden ser coeficientes, que multiplican a la variable, y constantes, números independientes. La variable puede estar elevada a un determinada potencia, el exponente, que incluso puede ser el cero. El número máximo de exponente es el grado del polinomio.

Los polinomios son fundamentales en la ciencia. Han demostrado su enorme utilidad en física, química, ingeniería, economía, y ciencias sociales, pero no sólo en estas ciencias, sino también, por citar algunas, en biología, medicina, ecología, etc.

Una ecuación algebraica es una expresión polinómica que se iguala a cero. Las soluciones, llamadas raíces o ceros, son tantas como sea su grado. La ecuación de primer grado, o lineal (porque su representación es una línea), no ofrece ningún problema. Para resolver una ecuación de segunda grado emplearemos la fórmula correspondiente. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron estudiadas, entre otros, por Caramo y Tartaglia, que obtuvieron su fórmula. Para las ecuaciones de quinto grado y superiores no siempre se pueden obtener soluciones por el método de los radicales, como demostró Galois a principios del siglo XIX.

Si tenemos varias ecuaciones lineales, de primer grado, con varias variables, si tenemos tantas ecuaciones como variables, tendremos un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es relativamente sencillo no resulta muy difícil despejar las variables por sustitución, igualación o reducción, pero si el sistema es complicado, esta tarea puede resultar trabajosa, por lo que para ello se pueden utilizar matrices, siempre que el sistema sea de Cramer, es decir, que tenga una única solución.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, de primer grado, se pueden resolver de tres formas distintas: algebraica, despejando las incógnitas; geométrica, representando las funciones, o mediante matrices.

Las ecuaciones  de  Cardano-Vieta  permiten  expresar  los  coeficientes  de  un  polinomio de cualquier grado, en función de sus raíces, siendo de enorme utilidad. Sin embargo, tienen un fallo:no se puede saber si las raíces obtenidos como solución del sistema de ecuaciones son reales o complejas.

La acotación de raíces consiste en obtener las cotas superiores e inferiores de las raíces. Se utilizan los métodos de Laguerre y de Newton.

La separación de raíces es el segundo paso para hallar las raíces. Sabiendo que están en un intervalo, se separan, en intervalos en los que se puede afirmar que hay una raíz y sólo una. Además de separarse las raíces de un polinomio por medio de su derivada, se usan los métodos de Rolle, Budan-Fourier, de Sturm, y de Harrior-Descartes.

El último paso es el de aproximación de raíces. Para ello, separadas en intervalos, las vamos aproximando a la solución. Se usa el método de Newton, de Horner, de Budan-Fourier, de la Regula Falsi, y el general de iteración.


1. Polinomios

- Lectura: J. Martinez Mediano. Polinomios y otras expresiones algebraicas (pdf)
- Lectura: Wikipedia. Polinomio
- Lectura: Superprof. Polinomios
- Lectura: Khan Academy. Introducción a los polinomios
- Lectura: Vitutor. Operaciones con polinomios
- Lectura: Wikipedia. Regla de Ruffini
- Ejercicios: Matemáticas jjp. Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Ejercicios: Universidad de Zaragoza (OCW). Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de polinomios
- Herramienta: Matematicas Online. Suma y resta de polinomios



2. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

- Lectura: Wikipedia. Ecuación algebraica
- Lectura y problemas: Vitutor. Ecuaciones lineales
- Lectura: Wikipedia. Sistema de ecuaciones lineales
- Lectura: Espanito. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Rouché–Frobenius
- Herramienta: WIMS. Solucionador de sistemas lineales
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de ecuaciones
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de desigualdades
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de sistemas de ecuaciones



3. Ecuaciones de Cardano-Vieta

- Lectura: Wikipedia. Relaciones de Cardano-Vieta
- Lectura: U. de Navarra. Polinomios y relaciones de Cardano-Vieta (pdf)
- Ejercicios: Fernando Revilla. Fórmulas de Cardano-Vieta



4. Raíces de una ecuación algebraica. Resolución algebraica o numérica. Ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado

- Lectura: Wladimiro Díaz Villanueva. Cálculo de raíces de ecuaciones
- Lectura: Curso interactivo de Física en Internet: Raíces de una ecuación



5. Acotación de raíces

- Lectura: Educajob. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: U. de Oviedo. Raíces de ecuaciones no lineales



6. Separación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: Aula Abierta de Matemáticas. Resolución de ecuaciones
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Sturm




7. Aproximación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: CEDE. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces (pdf)
- Presentación: Antonio Herrera Escudero (U. Veracruzana). Raíces de polinomios (pdf)




Ejercicios resueltos de ecuaciones algebraicas

- Ejercicios:Apuntes marea verde. Ecuaciones y sistemas
- Ejercicios: OEI. Problemas cuadráticos de Olimpiadas (pdf)
- Ejercicios: Colexio Abrente. Ecuaciones y sistemas de 1º y 2º grado (pdf)
- Ejercicios: Jesús Montserrat Torrecillas. Métodos Numéricos en el Ámbito Naval (parte correspondiente, pdf)


Algebra Lineal y Geometría
Leer más

Análisis combinatorio


Permutación

La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones y agrupaciones de los elementos. Sus aplicaciones son enormes, sobre todo en la informática, la estadística y el cálculo de probabilidades. En la vida cotidiana tenemos numerosos ejemplos de aplicación.

Tengo que organizar un evento en el que habrá una comida con comensales en varias mesas, ¿cuántas formas distintas tengo de distribuirlas?

Estoy decorando la casa y en mueble tengo un espacio para tres figuras y tengo diez distintas, ¿cuántas posibilidades tengo si influye el orden de colocación?

La Lotería Primitiva consiste en elegir 6 números elegidos desde el 1 al 49, ¿qué probabilidades tengo de acertar?

Las variaciones se dan cuando de un grupo de elementos hacemos agrupaciones menores. Cada una de estas agrupaciones menores se distingue de otra por el orden por los elementos que contiene y como están colocados, es decir, influye el orden.

En las permutaciones de un grupo de elementos creamos todos los grupos posibles con todos los elementos, siendo cada grupo distinto de otro por el orden en el que están colocados.

Las combinaciones son similares a las variaciones, pero en este caso en las agrupaciones menores no influye el orden, sólo se distinguen por los elementos que contengan.

Fue Newton, como otras tantas y tan importantes aportaciones, el que usando la tabla de coeficientes binomiales del matemático persa medieval Al-Karaŷí y los métodos de interpolación y extrapolación de John Wallis, descubrió el desarrollo del binomio y fue la honradez de Wallis la que reconoció su autoría, ya que Newton nunca publicó el descubrimiento, haciéndolo aquel.

Las variaciones, permutaciones y combinaciones también pueden ser con repetición, que ocurre cuando se pueden repetir los elementos, pudiendo haber, como es lógico, muchas más posibilidades.


1. Variaciones

- Lectura: Vitutor. Variaciones ordinarias
- Lectura: Va de numeros. Variaciones ordinarias
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Lectura: Wikipedia. Factorial
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones ordinarias



2. Permutaciones

- Lectura: Vitutor. Permutaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones ordinarias



3. Combinaciones. Número combinatorio

- Lectura: Vitutor. Combinaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones ordinarias
- Lectura: Vitutor. Número combinatorio



4. Binomio de Newton

- Lectura: Vitutor. Binomio de Newton
- Lectura: Wikipedia. Teorema del binomio
- Lectura: INTEF. Binomio de Newton



5. Variaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Variaciones con repetición
- Lectura: Ekuatio. Variaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones con repetición



6. Permutaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Permutaciones con repetición
- Lectura: Instituto Tecnológico de Chihuahua. Permutaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones con repetición



7. Combinaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Combinaciones con repetición
- Lectura: Wikipedia. Combinaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones con repetición



Ejercicios resueltos de combinatoria

- Ejercicios: Xunta de Galicia. Ejercicios Resueltos Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Vitutor. Problemas de Combinatoria
- Ejercicios: Facultad de Ingeniería - URU. 68 ejercicios de combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Cajón de Ciencias. Problemas resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas Webcindario. Ejercicios resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Problemas resueltos Matemáticas. Combinatoria
- Ejercicios: I.E.S. Sant Vicent. Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Combinatoria (pdf)


Algebra Lineal y Geometría
Leer más

Números complejos



Aunque parezca que son algo moderno, la necesidad de contar con los números complejos ya se plantea entre los matemáticos de la Antigua Grecia. Sin embargo, su gestación hasta llegar a la forma actual ha sido progresiva. Se plantea su clara necesidad para resolver los polinomios de segundo y tercer grado en el siglo XVI. En el siglo XVII Descartes los denomina como números imaginarios, término hoy en desuso. Sin embargo, la indiferencia ante ellos hace que no se desarrollen. Pero a principios del siglo XIX Wessel y Argand sientan sus bases y Gauss los bautiza con su nombre actual. También en ese siglo se crea su simbología con pares de números reales.

Los números complejos han sido fundamentales para el desarrollo de la física cuántica, así como para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas.

Un caso especial de la fórmula de Euler es la llamada identidad de Euler, que relaciona cinco números clave de la historia de las Matemáticas, que son:

- El 0: la no existencia

- El 1: la unidad

- π: pi, la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, numero irracional, 3,1416...

- e: el número e, base de los logaritmos naturales, aparece en las fórmulas de interés compuesto y es el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)n, que lejos de ser un artificio es un número que aparece constantemente en la Naturaleza, es irracional, siendo 2,7182...

- i: raíz cuadrada de -1, número imaginario

La identidad de Euler es la siguiente:
e + 1 = 0

¿Cómo se llega hasta aquí? Si la fórmula de Euler es:

eix = cosx + isenx

Sustituyendo x, cualquier número real, por π tenemos:

e = cosπ + isenπ

Como cosπ = -1 y senπ = 0:
e = -1 + 0

De aquí se llega fácilmente a la identidad de Euler:

e + 1 = 0

Que se ha dicho de la misma que es


1. Números complejos. Representación

- Lectura: Wikipedia. Número complejo
- Lectura: Vitutor. Números complejos



2. Operaciones con los números complejos

- Lectura: Ditutor. Números complejos
- Lectura: Khan Academy. Números complejos
- Lectura: Invitación a las Matemáticas. Números complejos
- Lectura: AGA Virtual. Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
- Herramienta: SoloMaths. Calculadora de números complejos



3. Potencias y raíces

- Lectura: Aula Fácil. Potencias y raíces de números complejos
- Lectura: Sangaku Maths. Potencias y raíces de complejos en forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)
- Presentación: Sabrina Dechima. Potencia y raíz de números complejos



4. Forma exponencial de un número complejo

- Lectura: Sangaku Maths. Números complejos en forma exponencial
- Lectura: AGA Virtual. Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
- Lectura: ETS de Naútica y Máquinas Navales - UPV. Números complejos



5. Fórmula de Euler

- Lectura: Wikipedia. Fórmula de Euler
- Lectura: Estudiar Física. Ecuación de Euler y teorema fundamental del álgebra




6. Logaritmo de números complejos

- Lectura: My complex soul. Logaritmo de números complejos
- Lectura: Silvia Carmen Morelos Escobar y José David Zaldívar Rojas. El logaritmo en los números complejos (pdf)
- Lectura: Dpto. Matemáticas - U.Murcia. Logaritmos y números complejos (pdf)
- Presentación: Paula Azabal Rubio. Logaritmos de los números complejos



Ejercicios resueltos de números complejos

- Ejercicios: Vitutor. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: G. Jarné; E. Minguillón; T. Zobal. Ejercicios resueltos de números complejos (pdf)
- Ejercicios: Profesor de mates 10. Números complejos. Ejercicios de exámenes
- Ejercicios: Va de números. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: Elena Álvarez Sáiz. Ejercicios resueltos. Números complejos (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Ejercicios de números complejos (pdf)


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Wikipedia. Logaritmo complejo


Algebra Lineal y Geometría
Leer más

Álgebra y estructuras algebraicas

2 Comments

Álgebra

Desde los orígenes de la Humanidad siempre ha habido necesidad de contar. El comportamiento simbólico humano nace hace unos 40.000-50.000 años. Al principio se hizo con los dedos de la mano, por ello no es casualidad que nuestro sistema de numeración sea decimal.

Numerar, sumar y restar fueron las primeras operaciones básicas. Pero también había que repartir y de esta manera nacieron la multiplicación y la división. Así nació la aritmética. Al avanzar la sociedad, la necesidad de cálculos complejos y un mayor grado de abstracción dieron lugar al nacimiento del álgebra. Este se divide en álgebra elemental (ecuaciones, polinomios, etc.) y álgebra abstracta, más avanzada, que nace en el siglo XIX (espacios vectoriales, anillos y cuerpos, etc.).

Las estructuras algebraicas básicas son la operación interna, el grupo, el anillo, el cuerpo, y el espacio.

Los números naturales, enteros, son los primeros números que aprendió la Humanidad, forman el conjunto N. La invención del 0 (cero) en notación posicional supuso una revolución, los romanos no lo conocían y por eso su numeración, aunque sea elegante, ya que se usa en los monumentos, es deficiente. Los números negativos fue otro gran invento, ya se conocían en las civilizaciones antiguas por causa de las deudas. Los números naturales (N), el cero y los negativos forman el conjunto de los números enteros (Z).

Pero los números también pueden ser fraccionarios, que contengan particiones de ellos, como uno y medio, que junto con el conjunto de los números enteros (Z) forma el conjunto de los números racionales (Q).

Un número irracional (su nombre lo dice todo) es un número que no puede ser expresado mediante una fracción, es decir no existe ninguna división de dos números que pueda crearlo. No constituyen ninguna estructura algebraica, ya que por decirlo de alguna manera son únicos. Como ejemplos tendríamos el número pi (𝝅), el número e, raíces cuadradas y cúbicas, etc. Si añadimos los números irracionales a los números racionales tendremos el conjunto de los números reales (R).

Los números imaginarios no existen en la vida real. Son una creación humana para resolver los múltiples problemas que surgen al intentar resolver la raíz cuadrada de un número negativo. En este sentido, han resultado ser de enorme utilidad y la vida actual no sería como la conocemos, pues muchos hallazgos tecnológicos dependen de ellos. Si a este grupo sumamos los números reales tendremos el conjunto de números complejos (C).

La teoría de conjuntos surgió como una parte de la lógica matemática a finales del siglo XIX debida principalmente a George Cantor, en medio de una gran polémica, ya que no fue generalmente aceptada en su día y le valió numerosas críticas, lo que le llevó a continuas depresiones.

A veces tampoco es aceptada o es incomprendida por los estudiantes que la consideran una mera tontería que ha tenido aceptación o un método poco acertado para explicar las cosas, pero lo cierto es que es un poderoso instrumento para acercarnos al concepto inasumible del infinito y para explicar muchas cosas que ocurren en el mundo real, de forma que podemos demostrar con la lógica lo que es cierto y rebatir fácilmente supersticiones y supercherías. En definitiva, nos ayuda a estar más cerca de la verdad. Y eso siempre es bueno.


1. Álgebra

- Lectura: Wikipedia. Álgebra


2. Estructuras algebraicas

- Lectura: E.T.S. de Caminos - U.C. Estructuras algebraicas básicas (pdf)
- Lectura: Wikiversidad. Principales conjuntos numéricos
- Vídeo: Canal de YouTube. Estructuras algebraicas



3. Teoría de conjuntos

- Lectura: Wikipedia. Teoría de conjuntos



4. Operaciones aritméticas

- Lectura: Ditutor. Operaciones básicas
- Lectura: Wikilibros. Propiedades aritméticas
- Lectura: Wikipedia. La prueba del nueve
- Lectura: The NROC Project. Orden de las operaciones
- Lectura: Wikipedia. Número negativo
- Lectura: Wikipedia. Cálculo de la raíz cuadrada


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Enrique Arrondo. Apuntes de Estructuras Algebraicas


Álgebra Lineal y Geometría

Leer más

Sistema de numeración binaria. Práctica virtual

Numeración binaria

El sistema de números que utilizamos es el sistema decimal, en el que las cantidades usan como base aritmética las potencias del número diez. Se piensa que se originó porque tenemos diez dedos en las manos. Es el usado en el mundo, exceptuando ciertas culturas, como los antiguos mayas.

En cuanto a los símbolos, en el mundo occidental en la Antigüedad se usó el sistema romano (y aún se usa en ámbitos formales y solemnes) pero no posibilitó el desarrollo de las matemáticas por la dificultad de las operaciones complejas y la ausencia del número 0. Fue sustituido por el sistema arábigo, surgido en la India e introducido por los árabes.

Hasta el siglo XIX, Bacon y Leibniz trataron el sistema binario, pero sin aplicaciones prácticas. A mediados del siglo XIX, George Boole crea un sistema lógico llamado Álgebra de Boole, que muchos años más tarde resultaría ser esencial en el desarrollo de la electrónica.

Pero sería con el desarrollo de la Informática y los computadores cuando el sistema binario adquiriría su importancia. Un sistema informático o de computación es un sistema electrónico en el que se trabaja con dos niveles de voltaje, encendido y apagado, encendido es 1 y apagado es 0. Por tanto, la numeración que usan los ordenadores es la numeración binaria, y por es esta razón es importante conocer su fundamento.


Introducción

- Lectura: Wikipedia. Sistema binario


Guión de la práctica

El objetivo de la práctica es familiarizar con el sistema binario, respondiendo a una serie de ejercicios. En el primero se aprenderá como se convierte un número de decimal a binario de forma manual y en los siguientes se realizarán operaciones de cierta complejidad de manera más automatizada.

1. Convertir el número 156 en binario de forma manual.

2. Convertir los números 26 y 3 en binario, realizar las siguientes operaciones 26 + 3, 26 - 3, 26 x 3 y 26 /3, en forma manual.

Acceder a la siguiente calculadora online que convierte números de decimal a binario y viceversa:


3. Realizar la siguiente operación de números binarios: 1111010101 x 1101011110 x 1111111100, dando el resultado en binario. Para ello transformar los número a sistema decimal, hacer la operación en el mismo y pasar el resultado a sistema binario.

Acceder a calculadoras binarias online, para realizar operaciones complejas en binario. Se pueden utilizar los siguientes enlaces:





4. Realizar las siguientes operaciones: 10101101010101 + 111110100001, y 11101010101011 - 10000111010

5. Realizar las siguientes operaciones: 1011111110111 * 11111100, y 101111000010101 / 10111100


Solución de los ejercicios propuestos

Se puede consultar la solución de los ejercicios propuestos en la siguiente entrada:



Preguntas y actividades

1.- Crear y realizar operaciones en sistema binario. Para comprobar la solución, transformar los números a decimal.

2.- La operación manual con números binarios en que es más fácil equivocarse en la resta o sustracción. Practicar hasta dominarla. Además del vídeo que aparece en la solución, se puede ver este otro.

3.- Dada la facilidad de equivocación en la resta de números binarios, otra posibilidad es usar el complemento a dos, transformando la resta en una suma. Consultar este enlace.de operaciones en complemento a 2.


Introducción a la Programación
Leer más

Sistema de numeración binaria. Práctica virtual. Solución de los ejercicios propuestos

Numeración binaria

Solución de los ejercicios propuestos en la práctica virtual Sistema de numeración binaria.


1. Convertir el número 156 en binario de forma manual

156 dividido entre 2 da 78 y el resto es igual a 0
78 dividido entre 2 da 39 y el resto es igual a 0
39 dividido entre 2 da 19 y el resto es igual a 1
19 dividido entre 2 da 9  y el resto es igual a 1
9 dividido entre 2 da 4  y el resto es igual a 1
4 dividido entre 2 da 2  y el resto es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1

Ordenando los restos, del último al primero, tenemos el número binario: 10011100


2. Convertir los números 26 y 3 en binario, realizar las siguientes operaciones 26 + 3, 26 - 3, 26 x 3 y 26 / 3, en forma manual.


Convertir los números en binario

26 dividido entre 2 da 13 y el resto es igual a 0
13 dividido entre 2 da 6 y el resto es igual a 1
6 dividido entre 2 da 3 y el resto es igual a 0
3 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 1
1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1

Ordenando los restos, del último al primero, tenemos el número binario: 11010

3 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 1
1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1

Ordenando los restos, del último al primero, tenemos el número binario: 11


26 + 3:

Las combinaciones al sumar dos bits son

- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10

Empezamos a sumar desde la derecha, 0 + 1 = 1; siguiente 1 + 1 = 10, escribiendo 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama  arrastre) y se suma el arrastre a la siguiente columna: 1 + 0 = 1, terminando con 11:

    11010
+        11
---------
    11101


26 - 3:

Las restas básicas son:

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 =  1, no cabe o se pide prestado al próximo

Para que los dos números binarios que intervienen tengan las misma cifras se añaden ceros a la izquierda del menor.

La resta 0 - 1 se resuelve, como en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la siguiente posición: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale en decimal, 2 - 1 = 1. Esta unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.

Segunda posición: esta al ser 1 - 1 = 0, como tenemos que arrastrar  es como si empezaramos colocando el 1 del arrastre antes de ellos, así 1 -1 = 0, 0 -1 = 1... y continuamos arrastrando el 1 (en Hispanoamérica también lo llaman acarreo).

Tercera posición, colocamos el 1 antes de los dos ceros, y sería 0 -1 = 1, 1 - 0 = 1... y sigue el arrastre.

Cuarta posición, colocamos el 1 del arrastre por encima, 1 -1 = 0, y 0 - 0 = 1. Y ya no arrastramos, ya que no sobra. Quinta posición, sin problema, 1 - 0 = 1.

   11010
-  00011
---------
   10111

En este vídeo, lo podemos ver bien explicado:



26 x 3

La multiplicación es más sencilla, ya que se asemeja a la del sistema decimal, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

                   11010
                x       11
                ---------
                   11010
                 11010
                ---------
               1001110

26 / 3


La división en sistema binario es parecida a la decimal, pero a la hora de hacer las restas de la división se harán en binario.

     11010  / 11
                 -----
    -11          1000
    ------
     000
  -   00
   ------
     0001
   -    00
    ------
     0010
    -   00
    ------
        10

Como vemos 26 entre 3 da 1000 en binario, que en decimal es 8, y como resto da 10 en binario, que en decimal es 2.


3. Realizar la siguiente operación de números binarios: 1111010101 x 1101011110 x 1111111100, dando el resultado en binario. Para ello transformar los número a sistema decimal, hacer la operación en el mismo y pasar el resultado a sistema binario.

Los números en sistema decimal son los siguientes:

- 1111010101 = 981

- 1101011110 = 862

- 1111111100 = 1020

Luego la operación es 981 * 862 * 1020 = 862534440, que en binario es 110011011010010011101100101000


4. Realizar las siguientes operaciones: 10101101010101 + 111110100001, y 11101010101011 - 10000111010

 - 10101101010101 + 111110100001 = 11101011110110

- 11101010101011 - 10000111010 = 011011001110001


5. Realizar las siguientes operaciones: 1011111110111 * 11111100, y 101111000010101 / 10111100

- 1011111110111 * 11111100 = 101111001011100100100

- 101111000010101 / 10111100 = 10000000, resto = 010101


Sistema de numeración binaria. Práctica virtual
Leer más

¿Se te atragantan las matemáticas? Esta web te puede ayudar

Símbolos matemáticos

lasMatematicas.es es una web creada por el doctor en Matemáticas Juan Medina Molina, que imparte materias de esta ciencia en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de la Universidad Politécnica de Cartagena.

La web contiene numerosos recursos y vídeos, cuyo aspecto principal es el esfuerzo por hacerse entender, es decir, son vídeos enormemente didácticos. Un buen profesor debe dominar la materia que imparte, pero debe ser también buen pedagogo y esas dos características las reúne el creador del sitio web.

Las matemáticas suelen ser tomadas como una materia árida, pero imprescindible en el conocimiento científico. Pero no sólo son importantes en la ciencias experimentales, también son imprescindibles en las ciencias sociales, como la Estadística, Política, Economía, etc. En la educación secundaria y en la primaria son materia obligatoria por esta razones obvias.

Las materias matemáticas son las que más esfuerzo suelen costar a los alumnos y las que suelen tener mayor número de suspensos. ¿Es algo inevitable? Parece ser que no, en realidad esto no debería ser así, se requiere un esfuerzo pedagógico, además de una adecuada metodología. Su dominio requiere una adecuada explicación por parte del profesor y una adecuada metodología por parte del alumno.


Enseñanza en la Red

Leer más