Álgebra y estructuras algebraicas

Desde los orígenes de la Humanidad siempre ha habido necesidad de contar. El comportamiento simbólico humano nace hace unos 40.000-50.000 años. Al principio se hizo con los dedos de la mano, por ello no es casualidad que nuestro sistema de numeración sea decimal.

Numerar, sumar y restar fueron las primeras operaciones básicas. Pero también había que repartir y de esta manera nacieron la multiplicación y la división. Así nació la aritmética. Al avanzar la sociedad, la necesidad de cálculos complejos y un mayor grado de abstracción dieron lugar al nacimiento del álgebra. Este se divide en álgebra elemental (ecuaciones, polinomios, etc.) y álgebra abstracta, más avanzada, que nace en el siglo XIX (espacios vectoriales, anillos y cuerpos, etc.).

Las estructuras algebraicas básicas son la operación interna, el grupo, el anillo, el cuerpo, y el espacio.

Los números naturales, enteros, son los primeros números que aprendió la Humanidad, forman el conjunto N. La invención del 0 (cero) en notación posicional supuso una revolución, los romanos no lo conocían y por eso su numeración, aunque sea elegante, ya que se usa en los monumentos, es deficiente. Los números negativos fue otro gran invento, ya se conocían en las civilizaciones antiguas por causa de las deudas. Los números naturales (N), el cero y los negativos forman el conjunto de los números enteros (Z).

Pero los números también pueden ser fraccionarios, que contengan particiones de ellos, como uno y medio, que junto con el conjunto de los números enteros (Z) forma el conjunto de los números racionales (Q).

Un número irracional (su nombre lo dice todo) es un número que no puede ser expresado mediante una fracción, es decir no existe ninguna división de dos números que pueda crearlo. No constituyen ninguna estructura algebraica, ya que por decirlo de alguna manera son únicos. Como ejemplos tendríamos el número pi (𝝅), el número e, raíces cuadradas y cúbicas, etc. Si añadimos los números irracionales a los números racionales tendremos el conjunto de los números reales (R).

Los números imaginarios no existen en la vida real. Son una creación humana para resolver los múltiples problemas que surgen al intentar resolver la raíz cuadrada de un número negativo. En este sentido, han resultado ser de enorme utilidad y la vida actual no sería como la conocemos, pues muchos hallazgos tecnológicos dependen de ellos. Si a este grupo sumamos los números reales tendremos el conjunto de números complejos (C).

La teoría de conjuntos surgió como una parte de la lógica matemática a finales del siglo XIX debida principalmente a George Cantor, en medio de una gran polémica, ya que no fue generalmente aceptada en su día y le valió numerosas críticas, lo que le llevó a continuas depresiones.

A veces tampoco es aceptada o es incomprendida por los estudiantes que la consideran una mera tontería que ha tenido aceptación o un método poco acertado para explicar las cosas, pero lo cierto es que es un poderoso instrumento para acercarnos al concepto inasumible del infinito y para explicar muchas cosas que ocurren en el mundo real, de forma que podemos demostrar con la lógica lo que es cierto y rebatir fácilmente supersticiones y supercherías. En definitiva, nos ayuda a estar más cerca de la verdad. Y eso siempre es bueno.


1. Álgebra

- Lectura: Wikipedia. Álgebra


2. Estructuras algebraicas

- Lectura: E.T.S. de Caminos - U.C. Estructuras algebraicas básicas (pdf)
- Lectura: Wikiversidad. Principales conjuntos numéricos
- Vídeo: Canal de YouTube. Estructuras algebraicas

3. Teoría de conjuntos

- Lectura: Wikipedia. Teoría de conjuntos

4. Operaciones aritméticas

- Lectura: Ditutor. Operaciones básicas
- Lectura: Wikilibros. Propiedades aritméticas
- Lectura: Wikipedia. La prueba del nueve
- Lectura: The NROC Project. Orden de las operaciones
- Lectura: Wikipedia. Número negativo
- Lectura: Wikipedia. Cálculo de la raíz cuadrada


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Enrique Arrondo. Apuntes de Estructuras Algebraicas


Álgebra Lineal y Geometría