Números complejos

Aunque parezca que son algo moderno, la necesidad de contar con los números complejos ya se plantea entre los matemáticos de la Antigua Grecia. Sin embargo, su gestación hasta llegar a la forma actual ha sido progresiva. Se plantea su clara necesidad para resolver los polinomios de segundo y tercer grado en el siglo XVI. En el siglo XVII Descartes los denomina como números imaginarios, término hoy en desuso. Sin embargo, la indiferencia ante ellos hace que no se desarrollen. Pero a principios del siglo XIX Wessel y Argand sientan sus bases y Gauss los bautiza con su nombre actual. También en ese siglo se crea su simbología con pares de números reales.

Los números complejos han sido fundamentales para el desarrollo de la física cuántica, así como para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas.

Un caso especial de la fórmula de Euler es la llamada identidad de Euler, que relaciona cinco números clave de la historia de las Matemáticas, que son:

- El 0: la no existencia

- El 1: la unidad

- π: pi, la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, numero irracional, 3,1416...

- e: el número e, base de los logaritmos naturales, aparece en las fórmulas de interés compuesto y es el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)ⁿ, que lejos de ser un artificio es un número que aparece constantemente en la Naturaleza, es irracional, siendo 2,7182...

- i: raíz cuadrada de -1, número imaginario

La identidad de Euler es la siguiente:

e^iπ + 1 = 0

¿Cómo se llega hasta aquí? Si la fórmula de Euler es:

e^ix = cosx + isenx

Sustituyendo x, cualquier número real, por π tenemos:

e^iπ = cosπ + isenπ

Como cosπ = -1 y senπ = 0:

e^iπ = -1 + 0

De aquí se llega fácilmente a la identidad de Euler:

e^iπ + 1 = 0

Que se ha dicho de la misma que es


1. Números complejos. Representación

- Lectura: Wikipedia. Número complejo
- Lectura: Vitutor. Números complejos

2. Operaciones con los números complejos

- Lectura: Ditutor. Números complejos
- Lectura: Khan Academy. Números complejos
- Lectura: Invitación a las Matemáticas. Números complejos
- Lectura: AGA Virtual. Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
- Herramienta: SoloMaths. Calculadora de números complejos

3. Potencias y raíces

- Lectura: Aula Fácil. Potencias y raíces de números complejos
- Lectura: Sangaku Maths. Potencias y raíces de complejos en forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)
- Presentación: Sabrina Dechima. Potencia y raíz de números complejos

4. Forma exponencial de un número complejo

- Lectura: Sangaku Maths. Números complejos en forma exponencial
- Lectura: AGA Virtual. Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
- Lectura: ETS de Naútica y Máquinas Navales - UPV. Números complejos

5. Fórmula de Euler

- Lectura: Wikipedia. Fórmula de Euler
- Lectura: Estudiar Física. Ecuación de Euler y teorema fundamental del álgebra

6. Logaritmo de números complejos

- Lectura: My complex soul. Logaritmo de números complejos
- Lectura: Silvia Carmen Morelos Escobar y José David Zaldívar Rojas. El logaritmo en los números complejos (pdf)
- Lectura: Dpto. Matemáticas - U.Murcia. Logaritmos y números complejos (pdf)
- Presentación: Paula Azabal Rubio. Logaritmos de los números complejos

Ejercicios resueltos de números complejos

- Ejercicios: Vitutor. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: G. Jarné; E. Minguillón; T. Zobal. Ejercicios resueltos de números complejos (pdf)
- Ejercicios: Profesor de mates 10. Números complejos. Ejercicios de exámenes
- Ejercicios: Va de números. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: Elena Álvarez Sáiz. Ejercicios resueltos. Números complejos (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Ejercicios de números complejos (pdf)


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Wikipedia. Logaritmo complejo


Algebra Lineal y Geometría