Matrices y determinantes


¿Qué es una matriz? Es una ordenación de números en filas y columnas, siendo su dimensión filas x columnas. Es un instrumento matemático para organizar información numérica.

Es una herramienta enormemente versátil, ya que tiene aplicaciones prácticamente para todo. Una de las más conocidas es la resolución de sistema de ecuaciones lineales. Pero no es la única. Hay aplicaciones en ciencias sociales, ingeniería, informática, robótica, astronomía, estadística, geometría, etc.

Por ejemplo, si pudiésemos expresar con una matriz la configuración atómica y molecular (sólo se sabe y con incertidumbres la del elemento más simple, el hidrógeno) podríamos crear certeras moléculas contra el cáncer que lo destruirían de forma sencilla sin dañar nada más. Hoy día estamos lejos de este objetivo, ya que desconocemos muchos datos de la configuración atómica y molecular, y además los cálculos que tendrían que realizar serían gigantescos...

Una matriz es cuadrada, si tiene el mismo número de filas que de columnas; si no, es rectangular, pudiendo ser vertical, si tiene más filas, y horizontal si tiene más columnas. Un caso especial de matriz vertical es la matriz columna, que sólo tiene una, y de matriz horizontal la matriz fila, que sólo tiene una. La matriz diagonal tiene todos los valores nulos (con cero) excepto la diagonal, que será escalar si todos los elementos de la diagonal son iguales, e identidad si todos son el número 1. Una matriz nula o cero tiene todos los elementos nulos (cero, 0). Una matriz es traspuesta de otra si conciden las filas con sus columnas y viceversa.

Con las matrices se pueden realizar varios tipos de operaciones, como trasponerlas (es como un reflejo de sus elementos), sumarlas, restarlas, multiplicarlas entre ellas o por un escalar, e invertirlas, siendo una matriz inversa, la que posee ciertas propiedades.

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Son las matrices que más se usan en álgebra.

El rango en álgebra es la dimensión en conjunto imagen de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales. El rango en una matriz es el número de columnas o filas respectivamente que son linealmente independientes. De esta forma se descartan filas o columnas nulas, iguales, o que son combinaciones lineales o proporcionales de otras.

Los determinantes se crearon antes que las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero es en el siglo XIX, cuando se da impulso a su teoría y se empieza a usar su notación actual.

Entre los métodos de cálculo de determinantes, destaca la Regla de Sarrús para determinantes de 3 filas y 3 columnas.

Los determinantes, además de su uso para cálculo matricial y resolución de ecuaciones lineales, también se pueden emplear, entre otras aplicaciones, para cálculos en el plano, posiciones de rectas y planos, cálculo de volúmenes, como aplicaciones matemáticas.




1. MATRICES


1. Definición de matriz

- Lectura: Wikipedia. Matríz (matemáticas) (parte correspondiente)
- Lectura: Descartes. Introducción al cálculo matricial (parte correspondiente)

- Lectura: Julián de la Horra (UAM). Cálculo matricial (pdf) (parte correspondiente) 




2. Tipos de matrices

- Lectura: Wikilibros. Tipos de matrices
- Lectura: Carlos Orihuela Romero. Matrices y determinantes (pags. 24-26)
- Vídeo: Videos CESUVER. Tipos de Matrices



3. Operaciones con matrices y sus propiedades

- Lectura: Wikipedia. Matríz (matemáticas) (parte correspondiente)
- Vídeo: Professor.ingeniero. OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición

- Vídeo: Pau Fernández. Trasponer una matriz
- Vídeo: Canal Mistercinco. Traspuesta de una matriz

Suma y diferencia de matrices

- Vídeo: Math2me. Suma y resta de matrices

Producto de una matriz por un escalar

- Vídeo: Educatina. Producto de una matriz por un escalar

Producto de matrices

- Vídeo: Professor.ingeniero. Producto de matrices

Inversión

El cálculo de la matriz inversa se puede realizar por determinantes y adjunto o por el método de Gauss, que veremos en el siguiente epígrafe.




4. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

- Lectura: Mates fácil. Matriz inversa por Gauss

- Vídeo: Videoejercicios. Método de Gauss-Jordan. Inversión de matrices



4. Matrices cuadradas

- Lectura: Wikipedia. Matriz cuadrada



5. Rango de una matriz

Se llama menor de orden p de una matriz al determinante resultante al eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. En una matriz cualquiera  Am×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado. El rango (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero.

Este concepto está unido al de determinantes.

- Lectura: Superprof. Rango de una matriz. Cálculo por determinantes



6. Aplicaciones de las matrices

- Lectura: INTEF-EDUCA LAB. Matrices y determinantes




2. DETERMINANTES


1. Definición de determinante

- Lectura: Wikipedia. Determinante (matemáticas)



2. Cálculo de determinantes de una matriz

- Presentación: That Quiz. Determinante de una matriz
- Vídeo: Lasmatematicas.es. Determinante de una matriz 4 x 4
- Vídeo: Khan Academy. Determinante n x n



3. La regla de Sarrus

- Lectura: Wikipedia. Regla de Sarrús
- Lectura: Yo soy tu profe. Regla de Sarrús



4. Propiedades de los determinantes

- Lectura: Hiru. Propiedades de los determinantes



5. Aplicaciones de los determinantes

- Lectura: Thales. Aplicaciones de los determinantes
- Lectura: Lemat. Más aplicaciones del determinante
- Vídeo: Danielsteven. Aplicaciones de matrices y determinantes a la Ingeniería Quimica



Problemas resueltos

- Problemas: J.M. Pérez S-González-UV. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
- Problemas: J.M. Martínez Mediano-UAH. Matrices y determinantes
- Problemas: Cálculo CC. Problemas resueltos de cálculo del rango por determinantes
- Problemas: Wikihow. Como encontrar el determinante de una matriz 3 x 3
- Problemas: Vitutor. Cálculo de determinantes
- Vídeo: Professor.ingeniero. OPERACIONES CON MATRICES ejercicios resueltos


Calculadoras online de matrices y determinantes

- Aplicación: Matrix calculator. Operaciones con matrices
- Aplicación: Mates fácil. Calculadora de Determinante de una matriz de dimensión 2x2, 3x3 y 4x4
- Aplicación: OnlineMSchool. Online calculadora. Determinante de matriz
- Aplicación: Symbolab. Calculadora para el determinante de una matriz y Calculadora de matrices
- Aplicación: Matrix Reshish. Calculadora de matrices
- Aplicación: Xuletas. Cálculo de matrices paso a paso
- Aplicación: Calculadora de matemáticas. Calculadora de matrices
- Aplicación: Didactalia. Calculadora de determinantes
- Aplicación: Marcelo Valenzuela. Cálculo de determinantes 2 x 2 a 5 x 5
- Web: Rincón didáctico Matemáticas. Programas Wiris y Wpmáxima


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: AGA Virtual. Determinante de una matriz
- Lectura: IES As Telleiras. Matrices y determinanes (pdf)
- Lectura: Escuela de Naútica-EUS. Matrices y determinantes
- Lectura: Junta de Andalucía-Averroes. Matrices y determinantes (pdf)
- Lectura: Matemáticas online. Matrices y determinantes (pdf)
- Lectura: Universidad de Antioquía. Determinantes
- Lecturas: M.D. Moreno-UCLM. Matrices y determinantes
- Lectura: Thales. Matrices y determinantes
- Lectura: P.J. Herero Piñeiro. Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: G. Jarne, E. Minguillón, T. Zabal. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: J. Medina Molina. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: Sixto Romero-UHU. Matrices y determinantes
- Lectura: ESI-US. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales


Álgebra Lineal y Geometría

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