Ecuaciones algebraicas

Un polinomio es un expresión algebraica que contiene variables, las x (y,z, etc), que son valores desconocidos, y números, que pueden ser coeficientes, que multiplican a la variable, y constantes, números independientes. La variable puede estar elevada a un determinada potencia, el exponente, que incluso puede ser el cero. El número máximo de exponente es el grado del polinomio.

Los polinomios son fundamentales en la ciencia. Han demostrado su enorme utilidad en física, química, ingeniería, economía, y ciencias sociales, pero no sólo en estas ciencias, sino también, por citar algunas, en biología, medicina, ecología, etc.

Una ecuación algebraica es una expresión polinómica que se iguala a cero. Las soluciones, llamadas raíces o ceros, son tantas como sea su grado. La ecuación de primer grado, o lineal (porque su representación es una línea), no ofrece ningún problema. Para resolver una ecuación de segunda grado emplearemos la fórmula correspondiente. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron estudiadas, entre otros, por Caramo y Tartaglia, que obtuvieron su fórmula. Para las ecuaciones de quinto grado y superiores no siempre se pueden obtener soluciones por el método de los radicales, como demostró Galois a principios del siglo XIX.

Si tenemos varias ecuaciones lineales, de primer grado, con varias variables, si tenemos tantas ecuaciones como variables, tendremos un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es relativamente sencillo no resulta muy difícil despejar las variables por sustitución, igualación o reducción, pero si el sistema es complicado, esta tarea puede resultar trabajosa, por lo que para ello se pueden utilizar matrices, siempre que el sistema sea de Cramer, es decir, que tenga una única solución.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, de primer grado, se pueden resolver de tres formas distintas: algebraica, despejando las incógnitas; geométrica, representando las funciones, o mediante matrices.

Las ecuaciones  de  Cardano-Vieta  permiten  expresar  los  coeficientes  de  un  polinomio de cualquier grado, en función de sus raíces, siendo de enorme utilidad. Sin embargo, tienen un fallo:no se puede saber si las raíces obtenidos como solución del sistema de ecuaciones son reales o complejas.

La acotación de raíces consiste en obtener las cotas superiores e inferiores de las raíces. Se utilizan los métodos de Laguerre y de Newton.

La separación de raíces es el segundo paso para hallar las raíces. Sabiendo que están en un intervalo, se separan, en intervalos en los que se puede afirmar que hay una raíz y sólo una. Además de separarse las raíces de un polinomio por medio de su derivada, se usan los métodos de Rolle, Budan-Fourier, de Sturm, y de Harrior-Descartes.

El último paso es el de aproximación de raíces. Para ello, separadas en intervalos, las vamos aproximando a la solución. Se usa el método de Newton, de Horner, de Budan-Fourier, de la Regula Falsi, y el general de iteración.


1. Polinomios

- Lectura: J. Martinez Mediano. Polinomios y otras expresiones algebraicas (pdf)
- Lectura: Wikipedia. Polinomio
- Lectura: Superprof. Polinomios
- Lectura: Khan Academy. Introducción a los polinomios
- Lectura: Vitutor. Operaciones con polinomios
- Lectura: Wikipedia. Regla de Ruffini
- Ejercicios: Matemáticas jjp. Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Ejercicios: Universidad de Zaragoza (OCW). Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de polinomios
- Herramienta: Matematicas Online. Suma y resta de polinomios

2. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

- Lectura: Wikipedia. Ecuación algebraica
- Lectura y problemas: Vitutor. Ecuaciones lineales
- Lectura: Wikipedia. Sistema de ecuaciones lineales
- Lectura: Espanito. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Rouché–Frobenius
- Herramienta: WIMS. Solucionador de sistemas lineales
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de ecuaciones
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de desigualdades
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de sistemas de ecuaciones

3. Ecuaciones de Cardano-Vieta

- Lectura: Wikipedia. Relaciones de Cardano-Vieta
- Lectura: U. de Navarra. Polinomios y relaciones de Cardano-Vieta (pdf)
- Ejercicios: Fernando Revilla. Fórmulas de Cardano-Vieta

4. Raíces de una ecuación algebraica. Resolución algebraica o numérica. Ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado

- Lectura: Wladimiro Díaz Villanueva. Cálculo de raíces de ecuaciones
- Lectura: Curso interactivo de Física en Internet: Raíces de una ecuación

5. Acotación de raíces

- Lectura: Educajob. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: U. de Oviedo. Raíces de ecuaciones no lineales

6. Separación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: Aula Abierta de Matemáticas. Resolución de ecuaciones
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Sturm

7. Aproximación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: CEDE. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces (pdf)
- Presentación: Antonio Herrera Escudero (U. Veracruzana). Raíces de polinomios (pdf)

Ejercicios resueltos de ecuaciones algebraicas

- Ejercicios:Apuntes marea verde. Ecuaciones y sistemas
- Ejercicios: OEI. Problemas cuadráticos de Olimpiadas (pdf)
- Ejercicios: Colexio Abrente. Ecuaciones y sistemas de 1º y 2º grado (pdf)
- Ejercicios: Jesús Montserrat Torrecillas. Métodos Numéricos en el Ámbito Naval (parte correspondiente, pdf)


Algebra Lineal y Geometría

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Ilustración científica de Historia Natural

Actiniae, 1907, por el naturalista Ernst Haeckel

La ilustración científica de Historia Natural es una actividad fascinante. Es una mezcla de Ciencia, Arte, y sobre todo fascinación por la Naturaleza, por el mundo que nos rodea.

Los dibujos de Cuvier, Buffon, Haeckel, por citar unos pocos, y en España, los cuadernos de campo de Felix Rodríguez de la Fuente, incitaron curiosidad, cautivaron, y motivaron a muchas generaciones de científicos, naturalistas, aficionados, o simples lectores, además de servir de enorme ayuda a las Ciencias Naturales.

Hoy, la ilustración científica de la Naturaleza, en la era digital, sigue siendo una actividad necesaria, una afición apasionante, un posible medio de vida, y un excelente elemento de divulgación y desarrollo científico. Los ordenadores y la animación digital, lejos de anularla o no hacerla necesaria, por el contrario, la han enriquecido.

Sin la ilustración naturalista, no hubiéramos podido conocer muchos aspectos de la Naturaleza desde el siglo XVIII, como jardines botánicos, variedades de plantas, los extinguidos dodo o la paloma migratoria, ni tampoco recrear mundos del pasado de la Tierra.

Iniciarse en esta gratificante actividad es sencillo, sólo hacen falta ganas e interés. Con papel de dibujo, lapices de distinta dureza, lapices de colores o acuarelas basta para una primera toma de contacto.  


1. Historia y concepto

La ilustración científica, usada principalmente en Historia Natural, existe prácticamente desde los inicios de la Humanidad, cuando el ser humano se esforzaba por entender el mundo que le rodeaba; plantas, animales, paisajes.

Al principio fueron los pintores del arte rupestre, luego los dibujantes renacentistas (Leonardo da Vinci, Alberto Durero), luego los ilustradores de la era científica (George Stubbs, Sydney C. Parkinson, Ferdinand Bauer, Maria Sibylla Merian, Ellis Rowan, etc.) hasta llegar a los tiempos actuales (Margaret Mee, Nicolás Fernández, Diego Ortega, etc.).

El propósito de la ilustración científica de la Naturaleza es ayudar a la investigación, a la docencia y a la divulgación científica de la Historia Natural, de las Ciencias de la Naturaleza.

El inicio de esta disciplina como tal surge en el siglo XVIII, en la Revolución Científica, con las grandes exploraciones. La investigación de los continentes americano y africano se descubran tantas plantas nuevas, que es necesario poner orden en este caos. El sistema de clasificación de Linneo ayudó a hacerlo.

Georg Ehret fue un botánico y entomólogo alemán que trabajó con Linneo. Dibujo las plantas con todos sus colores y formas, ayudando a su clasificación al mostrar con detalles sus partes reproductivas. Se le conoce como estilo Linneo.

Frente a la anterior corriente descriptiva, se dio otra corriente que dibujaba la Naturaleza, tal como era, como un todo. Esta corriente está ejemplificada en el naturalista y botánico norteamericano William Bartram. Se le conoce como estilo ecológico.

Estas dos corrientes o tendencias continúan en el actualidad. Siguen siendo tan necesarias, una como la otra, y ambas siguen contribuyendo al Arte y a la Ciencia.

La diferencia entre ilustración científica de Historia Natural e ilustración naturalista es que la ilustración científica de Historia Natural plasma conceptos científicos con rigor y claridad, necesitando investigación y documentación, y cuyo fin es la comunicación y divulgación científica, mientras que la ilustración naturalista se toma ciertas licencias en cuanto a colores formas, formas, etc, y su fin es mostrar la belleza del mundo natural. En todo caso, el limite es muy sutil.

Los objetivos pueden ser cualesquiera que aparezcan en la Naturaleza, como seres vivos, el Universo, minerales, fósiles, objetos arqueológicos, objetos antropológicos, etc.

2. Visión actual

Se puede pensar que ya no existe necesidad de aprender y practicar ilustración científica de Historia Natural en un mundo donde se ha impuesto la fotografía digital y la animación por ordenador, pero lo cierto es que los ilustradores científicos de Historia Natural son muy demandados ya que es necesario resaltar aspectos que la fotografía no hace, reconstruir mundos del pasado, realizar dibujos para publicaciones, interpretar datos científicos de manera visual, o simplemente, pensar de forma visual uniendo arte y ciencia.

La observación detallada del objeto que dibujan ha permitido a los ilustradores científicos observar detalles que habían pasado desapercibidos a los científicos, médicos y arqueólogos, como detalles de animales y plantas, aspectos del desarrollo fetal, y características de artefactos realizados por los primeros humanos.

Las diferencias que existen entre la ilustración de Historia Natural y la ilustración artística son las siguientes:

- La ilustración de Historia Natural requiere trabajos previos, como observaciones (a veces trabajo de campo), investigación y y trabajo de preparación.

- En la ilustración científica se dibuja el objeto con la mayor precisión posible, sin inventar nada, aunque sí es posible resaltar algún detalle que interese hacerlo.

- En la ilustración científica las ilustraciones deben ser visualmente atractivas, pero sin ninguna concesión a la libertad creativa.

En definitiva, la ilustración científica de Historia Natural se basa en la observación y en la técnica, mientras el dibujo artístico puede dar rienda suelta a la imaginación y la creatividad.

Hasta tal punto es así, que varias universidades y centros de investigación imparten cursos o asignaturas de ilustración científica de Historia Natural, entre ellos el prestigioso curso de la universidad australiana de Newcastle Drawing Nature, Science and Culture: Natural History Illustration, que se puede seguir online de manera gratuita, sólo hay que pagar si se quiere un certificado.

Ejemplos actuales de ilustradores científicos de Historia Natural demuestran que la ilustración científica de la Naturaleza, aunque tenga cierto aire romántico, no es algo del pasado, sino algo del presente y con futuro.

El artista y ornitólogo William T. Cooper (1934-2015), también nacido y educado en Newcastle, NSW, se menciona en el siguiente vídeo de David Attenborough como "uno de los más grandes que haya trabajado en esta disciplina tan exigente". Cooper, cuyo trabajo no solo es hermoso y está lleno de carácter, sino que también es científicamente correcto, explica aquí lo importante que es para los ilustradores de historia natural estudiar las aves vivas en busca de formas, modales y hábitats, y las muestras de taxidermia para los detalles más finos, incluso hasta el número de plumas. Las observaciones diligentes de Cooper significan que su trabajo tiene un lugar legítimo en el arte y la ciencia y que siempre resistirá la prueba del tiempo.

Algunos enlaces interesantes:

- Colección de las hermanas Scott en el Museo Australiano

- Diego Ortega Alonso, profesional de la ilustración científica de Historia Natural

- Institución Smithsoniana: modelos en 3d y laboratorio de aprendizaje.

- Los naturalistas y el estudio de la Naturaleza

- Obras de William T. Cooper

- Pinturas sobre pueblos aborígenes australianos de Joseph Lycett


3. Técnicas de la ilustración científica de Historia Natural

La primera técnica que se debe dominar es el dibujo, aprender a dibujar bien y con precisión, saber componer una ilustración y realizar el diseño final de forma tridimensional y realista. Su protagonista principal es el lápiz.

La segunda es la aplicación de color, saber como dar realismo y profundidad a los dibujos. Sus protagonistas son los pinceles y lápices de colores.

La tercera es la mejora de la ilustración, ya sea mediante retoque fotográfico digital, para exponer en público, murales, etc.

La ilustración científica puede llevar tiempo adoptándose posiciones estáticas y movimientos repetitivos. Debemos tener un espacio para configurar nuestro equipo de ilustración científica, sintiéndonos cómodos en el mismo. La mesa y la silla deben ser cómodas, la espalda debe estar recta y los ojos deben hacer descansos periódicos. 

4. Material necesario

Un material básico para empezar puede ser el siguiente:

- Un bloc de dibujo de tamaña A3 (el doble de un folio) con papel de buena calidad.

- Superficie dura para apoyar el papel (Escritorio, mesa o tablero de dibujo)

- Lápices de distinta dureza, de 4B hasta 2H.

- Gomas de borrar

- Pluma o cepillo suave para limpiar los restos de goma

- Lapices de colores, o una caja de pinturas de acuarela (en este caso necesitaremos un pincel pequeño.

- Una buena iluminación. Después de la iluminación natural, puede valer una lámpara de escritorio que ilumine bien y de manera homogénea.

Ilustración científica de Historia Natural

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¿Qué fue de los pioneros de la educación universitaria online por Internet?

Página CASO en 1997

Nos remontamos en el tiempo más de 20 años. Corría el año 1997, desde la creación de Internet en 1969 (la experimental Arpanet), se había empezado realmente a desarrollar a partir de la segunda mitad de los 90, más o meno sobre 1995.

Al principio, la trasferencia de datos se hizo mediante vía telefónica y en sus inicios se limitaba a la comunicación escrita (el correo electronico o email) y a la lectura de información. Poco a poco empezaron a añadirse más posibilidades, como multimedia, descargas de archivos, etc.

A nadie se le escapaba que Internet podía ser una herramienta excelente para educación, y ya no sólo por las enormes posibilidades de aprendizaje que ofrecía a través de vídeos, consulta de información, etc., sino porque por su propia estructura podía ser usado para la educación a distancia. En este aspecto, ya desde los comienzos, se desarrollaron un gran número de cursos de distinta temática.

Pero la educación universitaria, o de otros niveles pero reglada, era otra muy distinta. Tendría que transcurrir mucho tiempo hasta que la cosa madurase. Pero al final lo hizo, en algunos casos de forma brillante, como en el caso de los MOOCs, y en otros de forma fraudulenta, como los fake diplomas.

Las instituciones universitarias de enseñanza a distancia no eran algo nuevo. La británica Open University había abierto sus puertas en 1969 y la española UNED en 1972. Normalmente, la comunicación con el estudiante se realizaba por correspondencia, mediante los servicios postales, pero en el desarrollo de Internet surgió una gran oportunidad.

Oportunidad que en realidad significaba un vasto campo por explorar. Y como en toda exploración se necesitaban pioneros que fueran por delante abriendo camino, en algunos casos hasta de forma experimental.

Esta es la historia de algunos de esos pioneros.


The CASO Internet University Index

Era un sitio web (www.caso.com) que facilitaba información sobre cursos universitarios online en Internet. Tenía pretensiones de llegar a ser un mega portal, pero al final terminó despareciendo. Hoy día el dominio pertenece a una empresa de tratamiento de documentos.


Open University de British Columbia (Canadá)

Fue una de las universidades pioneras. Hoy día, la British Columbia Open University sigue existiendo, si bien tampoco ha expandido notablemente sus programas de enseñanza online.


Electronic University de Hong-Kong

Universidad completamente pionera en la enseñanza por Internet, hasta tal punto que en 1997 ofrecía títulos de tres universidades, incluyendo un Bachelor of Health Sciences y un MBA.

Por entonces se dudaba de su futuro por el traspaso de la colonia británica de Hong Kong a China. Pues bien, dichas sospechas eran ciertas porque a día de hoy ha desaparecido como tal.

No obstante, su sucesora, la Open University de Hong Kong ofrece numerosos programas, entre ellos varios master, incluyendo MBA, grados en estudios chinos, electrónica, ingeniería mecánica, ciencias ambientales, matemáticas, estadística, economía, informática, ciencias sociales, etc.

El precio de un curso anual es de unos 5.600 euros, más tasas de secretaría, unos 30-60 euros. Hay subsidios y préstamos destinados a los estudiantes.


Universidad de Cornell

La prestigiosa Universidad de Cornell, fundada en el siglo XIX, situada en Nueva York, fue una de las primeras en ofrecer posibilidades de estudio a través de Internet, aunque lo hacía modestamente.

Hoy día, su oferta cursos online es muy inferior a la que ofrecen otras universidades.


Universidad de Phoenix

Ya en 1997 ofrecía varios MBA y la titulación de Ingeniería Informática. Hoy día, sus programas a distancia ofrece grados en administración de empresas, informática, educación, ciencias ambientales, psicología, etc. y másteres en estas disciplinas.

El coste del crédito es de 398 dólares, si se tienen que completar 120 créditos, el coste total será 47.760 dólares, que si lo dividimos por cuatro cursos, son 11.960 dólares, excesivo siendo online, aunque la educación sea, y esto nadie lo duda, de calidad.


Universidad Regiomontana de México

Esta universidad, creada en Monterrey en 1969, en 1997 ofrecía titulaciones empresariales, sociales e ingenierías, entre ellas la química. En aquella época online ofrecía algunos cursos. Actualmente ofrece carreras en línea y maestrías de Licenciatura en Derecho, Psicología, Administración, y maestrías de Derecho, Recursos Humanos, y Logística.


Universidad Alas Peruanas

Universidad fundada en 1996 por la Cooperativa Alas Peruanas, constituída por miembros de las Fuerzas Armadas de Perú. Ya en 1997 aspiraba a ofrecer la carrera de Ecología, entonces única en Perú.

Su Dirección Universitaria de Educación a Distancia ofrece varias carreras virtuales, en pregrado, Administración y Negocios Internacionales, Ciencias Contables y Financieras, Derecho y Ciencias Políticas, Ingeniería Ambiental, Ingeniería Industrial, y Psicología Humana; y en posgrado maestrías y doctorados de estas especialidades.


Open University

Esta universidad a distancia inglesa fue pionera de la educación a distancia en Europa. Ya en 1997 seguía con su modelo de entonces, de educación a distancia, como el de la UNED, pero ya empezaba a introducirse en el mundo de Internet.


¿Qué conclusiones podemos sacar 20 años después?

El camino recorrido en 20 años ha sido largo y fructífero, hay que reconocerlo. Pero estamos muy lejos de alcanzar una educación universitaria gratuita y universal online. Una educación que no tiene ni debe estar reñida con la educación universitaria presencial, como lo demuestra la incorporación de prestigiosas universidades a los MOOCs o a los materiales abiertos, por citar unos ejemplos. Por el contrario, la educación presencial puede beneficiarse del desarrollo de la educación online.

Al principio los MOOCs eran completamente gratuitos, pero hoy día la mayor parte de las instituciones cobran un precio mínimo por los certificados o diplomas. Precio que es muy cierto que no es elevado, pero que para personas con bajos ingresos económicos o de partes del planeta deprimidas económicamente supone un importante desembolso. Hay que reconocer que la sostenibilidad económica de este modelo, si no se cobrara el certificado, era difícil. Quizá en un futuro haya nuevas formas de financiación. Nunca hay que perder la esperanza de que surgan soluciones imaginativas.

En este sentido, iniciativas como Saylor Academy o CUVSI, desde nuestras modestas posibilidades, intentan paliar esta carencia, intentando el ideal de que exista una educación universitaria, con mayor o menor calidad, con mayor o menor exigencia, que sea completamente online y completamente gratuita. 


Enseñanza en la Red

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Análisis combinatorio

La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones y agrupaciones de los elementos. Sus aplicaciones son enormes, sobre todo en la informática, la estadística y el cálculo de probabilidades. En la vida cotidiana tenemos numerosos ejemplos de aplicación.

Tengo que organizar un evento en el que habrá una comida con comensales en varias mesas, ¿cuántas formas distintas tengo de distribuirlas?

Estoy decorando la casa y en mueble tengo un espacio para tres figuras y tengo diez distintas, ¿cuántas posibilidades tengo si influye el orden de colocación?

La Lotería Primitiva consiste en elegir 6 números elegidos desde el 1 al 49, ¿qué probabilidades tengo de acertar?

Las variaciones se dan cuando de un grupo de elementos hacemos agrupaciones menores. Cada una de estas agrupaciones menores se distingue de otra por el orden por los elementos que contiene y como están colocados, es decir, influye el orden.

En las permutaciones de un grupo de elementos creamos todos los grupos posibles con todos los elementos, siendo cada grupo distinto de otro por el orden en el que están colocados.

Las combinaciones son similares a las variaciones, pero en este caso en las agrupaciones menores no influye el orden, sólo se distinguen por los elementos que contengan.

Fue Newton, como otras tantas y tan importantes aportaciones, el que usando la tabla de coeficientes binomiales del matemático persa medieval Al-Karaŷí y los métodos de interpolación y extrapolación de John Wallis, descubrió el desarrollo del binomio y fue la honradez de Wallis la que reconoció su autoría, ya que Newton nunca publicó el descubrimiento, haciéndolo aquel.

Las variaciones, permutaciones y combinaciones también pueden ser con repetición, que ocurre cuando se pueden repetir los elementos, pudiendo haber, como es lógico, muchas más posibilidades.


1. Variaciones

- Lectura: Vitutor. Variaciones ordinarias
- Lectura: Va de numeros. Variaciones ordinarias
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Lectura: Wikipedia. Factorial
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones ordinarias

2. Permutaciones

- Lectura: Vitutor. Permutaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones ordinarias

3. Combinaciones. Número combinatorio

- Lectura: Vitutor. Combinaciones
- Lectura: Disfruta las Matemáticas. Combinaciones y permutaciones
- Lectura: Junta de Andalucia. Variaciones, permutaciones y combinaciones
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones ordinarias
- Lectura: Vitutor. Número combinatorio

4. Binomio de Newton

- Lectura: Vitutor. Binomio de Newton
- Lectura: Wikipedia. Teorema del binomio
- Lectura: INTEF. Binomio de Newton

5. Variaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Variaciones con repetición
- Lectura: Ekuatio. Variaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de variaciones con repetición

6. Permutaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Permutaciones con repetición
- Lectura: Instituto Tecnológico de Chihuahua. Permutaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de permutaciones con repetición

7. Combinaciones con repetición

- Lectura: Vitutor. Combinaciones con repetición
- Lectura: Wikipedia. Combinaciones con repetición
- Lectura: Junta de Andalucía. Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición
- Herramienta: Ematematicas. Calculadora de combinaciones con repetición

Ejercicios resueltos de combinatoria

- Ejercicios: Xunta de Galicia. Ejercicios Resueltos Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Vitutor. Problemas de Combinatoria
- Ejercicios: Facultad de Ingeniería - URU. 68 ejercicios de combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Cajón de Ciencias. Problemas resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas Webcindario. Ejercicios resueltos de Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Problemas resueltos Matemáticas. Combinatoria
- Ejercicios: I.E.S. Sant Vicent. Combinatoria (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Combinatoria (pdf)


Algebra Lineal y Geometría

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Números complejos

Aunque parezca que son algo moderno, la necesidad de contar con los números complejos ya se plantea entre los matemáticos de la Antigua Grecia. Sin embargo, su gestación hasta llegar a la forma actual ha sido progresiva. Se plantea su clara necesidad para resolver los polinomios de segundo y tercer grado en el siglo XVI. En el siglo XVII Descartes los denomina como números imaginarios, término hoy en desuso. Sin embargo, la indiferencia ante ellos hace que no se desarrollen. Pero a principios del siglo XIX Wessel y Argand sientan sus bases y Gauss los bautiza con su nombre actual. También en ese siglo se crea su simbología con pares de números reales.

Los números complejos han sido fundamentales para el desarrollo de la física cuántica, así como para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas.

Un caso especial de la fórmula de Euler es la llamada identidad de Euler, que relaciona cinco números clave de la historia de las Matemáticas, que son:

- El 0: la no existencia

- El 1: la unidad

- π: pi, la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, numero irracional, 3,1416...

- e: el número e, base de los logaritmos naturales, aparece en las fórmulas de interés compuesto y es el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)ⁿ, que lejos de ser un artificio es un número que aparece constantemente en la Naturaleza, es irracional, siendo 2,7182...

- i: raíz cuadrada de -1, número imaginario

La identidad de Euler es la siguiente:

e^iπ + 1 = 0

¿Cómo se llega hasta aquí? Si la fórmula de Euler es:

e^ix = cosx + isenx

Sustituyendo x, cualquier número real, por π tenemos:

e^iπ = cosπ + isenπ

Como cosπ = -1 y senπ = 0:

e^iπ = -1 + 0

De aquí se llega fácilmente a la identidad de Euler:

e^iπ + 1 = 0

Que se ha dicho de la misma que es


1. Números complejos. Representación

- Lectura: Wikipedia. Número complejo
- Lectura: Vitutor. Números complejos

2. Operaciones con los números complejos

- Lectura: Ditutor. Números complejos
- Lectura: Khan Academy. Números complejos
- Lectura: Invitación a las Matemáticas. Números complejos
- Lectura: AGA Virtual. Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
- Herramienta: SoloMaths. Calculadora de números complejos

3. Potencias y raíces

- Lectura: Aula Fácil. Potencias y raíces de números complejos
- Lectura: Sangaku Maths. Potencias y raíces de complejos en forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)
- Presentación: Sabrina Dechima. Potencia y raíz de números complejos

4. Forma exponencial de un número complejo

- Lectura: Sangaku Maths. Números complejos en forma exponencial
- Lectura: AGA Virtual. Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
- Lectura: ETS de Naútica y Máquinas Navales - UPV. Números complejos

5. Fórmula de Euler

- Lectura: Wikipedia. Fórmula de Euler
- Lectura: Estudiar Física. Ecuación de Euler y teorema fundamental del álgebra

6. Logaritmo de números complejos

- Lectura: My complex soul. Logaritmo de números complejos
- Lectura: Silvia Carmen Morelos Escobar y José David Zaldívar Rojas. El logaritmo en los números complejos (pdf)
- Lectura: Dpto. Matemáticas - U.Murcia. Logaritmos y números complejos (pdf)
- Presentación: Paula Azabal Rubio. Logaritmos de los números complejos

Ejercicios resueltos de números complejos

- Ejercicios: Vitutor. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: G. Jarné; E. Minguillón; T. Zobal. Ejercicios resueltos de números complejos (pdf)
- Ejercicios: Profesor de mates 10. Números complejos. Ejercicios de exámenes
- Ejercicios: Va de números. Ejercicios de números complejos
- Ejercicios: Elena Álvarez Sáiz. Ejercicios resueltos. Números complejos (pdf)
- Ejercicios: Matemáticas online. Ejercicios de números complejos (pdf)


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Wikipedia. Logaritmo complejo


Algebra Lineal y Geometría

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Álgebra y estructuras algebraicas

Desde los orígenes de la Humanidad siempre ha habido necesidad de contar. El comportamiento simbólico humano nace hace unos 40.000-50.000 años. Al principio se hizo con los dedos de la mano, por ello no es casualidad que nuestro sistema de numeración sea decimal.

Numerar, sumar y restar fueron las primeras operaciones básicas. Pero también había que repartir y de esta manera nacieron la multiplicación y la división. Así nació la aritmética. Al avanzar la sociedad, la necesidad de cálculos complejos y un mayor grado de abstracción dieron lugar al nacimiento del álgebra. Este se divide en álgebra elemental (ecuaciones, polinomios, etc.) y álgebra abstracta, más avanzada, que nace en el siglo XIX (espacios vectoriales, anillos y cuerpos, etc.).

Las estructuras algebraicas básicas son la operación interna, el grupo, el anillo, el cuerpo, y el espacio.

Los números naturales, enteros, son los primeros números que aprendió la Humanidad, forman el conjunto N. La invención del 0 (cero) en notación posicional supuso una revolución, los romanos no lo conocían y por eso su numeración, aunque sea elegante, ya que se usa en los monumentos, es deficiente. Los números negativos fue otro gran invento, ya se conocían en las civilizaciones antiguas por causa de las deudas. Los números naturales (N), el cero y los negativos forman el conjunto de los números enteros (Z).

Pero los números también pueden ser fraccionarios, que contengan particiones de ellos, como uno y medio, que junto con el conjunto de los números enteros (Z) forma el conjunto de los números racionales (Q).

Un número irracional (su nombre lo dice todo) es un número que no puede ser expresado mediante una fracción, es decir no existe ninguna división de dos números que pueda crearlo. No constituyen ninguna estructura algebraica, ya que por decirlo de alguna manera son únicos. Como ejemplos tendríamos el número pi (𝝅), el número e, raíces cuadradas y cúbicas, etc. Si añadimos los números irracionales a los números racionales tendremos el conjunto de los números reales (R).

Los números imaginarios no existen en la vida real. Son una creación humana para resolver los múltiples problemas que surgen al intentar resolver la raíz cuadrada de un número negativo. En este sentido, han resultado ser de enorme utilidad y la vida actual no sería como la conocemos, pues muchos hallazgos tecnológicos dependen de ellos. Si a este grupo sumamos los números reales tendremos el conjunto de números complejos (C).

La teoría de conjuntos surgió como una parte de la lógica matemática a finales del siglo XIX debida principalmente a George Cantor, en medio de una gran polémica, ya que no fue generalmente aceptada en su día y le valió numerosas críticas, lo que le llevó a continuas depresiones.

A veces tampoco es aceptada o es incomprendida por los estudiantes que la consideran una mera tontería que ha tenido aceptación o un método poco acertado para explicar las cosas, pero lo cierto es que es un poderoso instrumento para acercarnos al concepto inasumible del infinito y para explicar muchas cosas que ocurren en el mundo real, de forma que podemos demostrar con la lógica lo que es cierto y rebatir fácilmente supersticiones y supercherías. En definitiva, nos ayuda a estar más cerca de la verdad. Y eso siempre es bueno.


1. Álgebra

- Lectura: Wikipedia. Álgebra


2. Estructuras algebraicas

- Lectura: E.T.S. de Caminos - U.C. Estructuras algebraicas básicas (pdf)
- Lectura: Wikiversidad. Principales conjuntos numéricos
- Vídeo: Canal de YouTube. Estructuras algebraicas

3. Teoría de conjuntos

- Lectura: Wikipedia. Teoría de conjuntos

4. Operaciones aritméticas

- Lectura: Ditutor. Operaciones básicas
- Lectura: Wikilibros. Propiedades aritméticas
- Lectura: Wikipedia. La prueba del nueve
- Lectura: The NROC Project. Orden de las operaciones
- Lectura: Wikipedia. Número negativo
- Lectura: Wikipedia. Cálculo de la raíz cuadrada


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: Enrique Arrondo. Apuntes de Estructuras Algebraicas


Álgebra Lineal y Geometría

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Estructuras de datos

Este es un tema denso, pero fundamental a la hora del manejo de datos. Un conjunto de datos aislado y desordenado de nada sirve. ¿Te imaginas un diccionario en el que todas las palabras estuviesen desordenadas? Aunque nos diera de forma exacta el significado de cada palabra, un diccionario así, de nada serviría.

La organización y estructura de datos es, por tanto, algo fundamental a la hora de hacer uso de los mismos. En el ejemplo anterior, un diccionario contiene miles de palabras y la ordenación alfabética es una ordenación válida y útil. Pero si en vez de contener miles de entradas contuviera unas pocas, por ejemplo, las relativas a países, lo mismo convenía ordenarlos por continentes y dentro de los mismos alfabéticamente. La forma de ordenar unos datos influye a la hora de tener acceso a los mismos.

Una estructura de datos es una colección de datos organizada. En este sentido, un dato puede ser tan simple como un número entero, o tan complejo, como una matriz de números.

Las estructuras pueden ser contiguas, seguidas unas de otras (cadenas, arrays (vectores, matrices, o arrays multidmensionales), registros) o enlazadas, los datos no están contiguos en la memoria. También pueden ser estáticas, cuando el tamaño ocupado en la memoria no puede modificarse, o dinámicas, cuando pueden cambiar de tamaño.

Las estructuras dinámicas se representan por un tipo de dato denominado puntero, que es el dato que indica la posición en la memoria de otro dato.

El objeto de la programación está relacionada con la obtención de un algoritmo que resuelva los problemas de la forma más eficiente posible. Para saber si hemos resuelto el problema de una forma eficiente, debemos conocer la complejidad algorítmica.

Determinar la complejidad de un algoritmo no es tarea sencilla. Está relacionada con el número de operaciones elementales que es preciso realizar. Según el grado del polinomio, así será la complejidad, existiendo lineales, cuadrados, cubicos, etc. Cuando aumenta el grado, aumenta notablemente el número de operaciones, y por tanto el tiempo de resolverlo. Por tanto, es importante estimar la complejidad de un algoritmo.

La recursión es una forma de hallar la solución de un problema mediante soluciones de pequeñas instancias del problema. Un algoritmo recursivo es un algoritmo que expresa la solución de un problema llamándose a sí mismo (llamada recursiva o recurrente). El Teorema maestro se usa para determinar la complejidad de un algoritmo.

1. Estructuras de datos

- Lectura: Instituto de Robótica - U. de Valencia. Estructuras de datos (pdf)

2. Archivos y bases de datos

- Lectura: Instituto de Robótica - U. de Valencia. Archivos y bases de datos (pdf)

3. Complejidad de los algoritmos

- Lectura: Instituto de Robótica - U. de Valencia. Algoritmos y su complejidad (pdf)

4. Teorema maestro

- Lectura: Wikipedia. Teorema maestro
- Presentación: Marcelo Arenas. El Teorema Maestro

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