Calculadoras y herramientas matemáticas online

La utilización de mecanismos para realizar cálculos matemáticos viene de muy antiguo, desde los antiguos ábacos, a las máquinas con mecanismos de los siglos XVIII y XIX. Las sumadoras y las cajas registradoras fueron comunes hasta la segunda mitad del siglo XX. Pero es con el desarrollo de la electrónica, en la década de los 60 del siglo XX, cuando se popularizan y aumenta el uso masivo de calculadoras electrónicas. Atrás quedaban las tablas trigonométricas y de logaritmos. Este fue un primer paso. Pero luego vino otro con las calculadoras electrónicas programables, que incluso permitían resolver integrales que hacían sudar a muchos estudiantes.

El desarrollo y popularización de los ordenadores personales, a partir de la década de los 90 del siglo XX fue un avance espectacular, ya que permitió realizar todo tipo de cálculos, abriendo las posibilidades de forma extraordinaria. Al principio, mediante programas ejecutables o que se tenían que instalar, y luego, con el desarrollo de Internet, aplicaciones online, que se podían utilizar de forma gratuita e inmediata. A estas últimas va dedicado este post.

AJ Design

En inglés. Enorme conjunto de calculadoras, divididas en varios grupos, Matemáticas, Física, Ingeniería, Salud, Mecánica de fluidos, finanzas, salud. A la hora de manejar calculadoras en inglés, hay que tener en cuenta la notación anglosajona, en la que los decimales se separan con un punto, en vez de con una coma.

Alcula

Conjunto de calculadoras online con distintos propósitos. Tenemos una calculadora simple (con varias variantes), una calculadora científica, una calculadora estadística, una calculadora de impresión con cinta (imitando a una real), una calculadora de porcentajes, una calculadora RPN (la Notación Polaca Inversa simplifica insertar fórmulas complejas), una calculadora  para minería bitcoin y un ábaco (como si fuera uno real).

Calculadora de Derivadas

Para calcular online derivadas con pasos y gráficas. La calculadora es muy intuitiva y está realizada con afán pedagógico. La ayuda es muy buena. Se pueden calcular primeras, segundas, …, quintas derivadas y diferenciación de funciones con muchas variables (derivadas parciales), diferenciación implícita y cálculo de raíces/ceros.

Calculadora de integrales con pasos y graficas

Se introduce la expresión, obteniéndose la solución, mostrando los pasos consecutivos, y la función gráfica. Da la opción de simplificar la solución y exportar en los formatos LaTex, sistema de álgebra computacional Máxima, y calculadora de derivadas/integrales.

Calculadora Lógica

Se escribe la expresión, admitiendo hasta cuatro variables (x, y, w, y z), y las operaciones AND (y), OR (o) y NOT (o). A continuación se introduce el valor de las variables. Haciendo click en Resultado, se obtiene la solución.

Calculadora conversor

Conjunto de calculadoras, con múltiples aplicaciones entre las que están las Matemáticas, Física, Trigonometría, matrices, cambio de divisas y de unidades (distancia, talla de ropa, etc.)., y otras calculadoras, como son de embarazo, salud, coche, etc.

Calculadora de vectores NewtonDreams

Esta calculadora calcula la suma o diferencia de dos o más vectores. Se introducen sus coordenadas polares o cartesianas (la aplicación da la conversión de ambas), obteniéndose tanto el resultado numérico como el gráfico.

Calculadora de vectores WIMS

Permite realizar cálculos con vectores, pudiendo ser números reales o complejos, así como expresiones paramétricas. Las operaciones posibles son análisis de independencia lineal, combinación lineal, complemento ortogonal, visualización de los vectores, producto escalar, y producto vectorial

Calculadoras matemáticas online

Conjunto de calculadoras online en una misma web, mediante las cuales se pueden resolver ecuaciones, operar con matrices, polinomios, realizar productos vectoriales, cálculos trigonométricos, resolver ecuaciones logarítmicas, límites de funciones, etc.


Calculadoras online

Web que contiene una serie de calculadoras, no sólo de matemáticas, sino también de nutrición, financieras, embarazo, deporte, informática, etc. La calculadora científica proporciona cálculo en trigonometría, estadística, raíces, etc.


Calcuvio

Conjunto de calculadora, no sólo de Matemáticas, sino también de Ingeniería, Física, Finanzas, Estadística, y Salud. Entre otras operaciones proporcionan cálculo en trigonometría, conversión de unidades, geometría, número complejos, matrices. En Ingeniería, cálculo de resistencias, engranajes, círculo de Mohr, ley de Hooke, momentos de inercia, etc. En Física, movimientos, fuerzas y aceleraciones, velocidad angular, resortes y muelles, etc. En Finanzas, interés simple y y compuesto, hipotecas, etc. En estadística, valores centrales, desviaciones, cuartiles, etc. Y en salud, varios índices y tasa de metabolismo basal.

Descartes 3D

Calculadora centrada en la estadística y la probabilidad, que permite el cálculo de números aleatorios y combinatorios, así como estadística con una y dos variables, Su interfaz tiene la apariencia de una sofisticada calculadora científica. 

El Imperio de los Números

Conjunto de herramientas matemáticas comprendiendo calculadora de derivadas e integrales, límites, series, solución de ecuaciones, simplificador de expresiones, factorización, series de Taylor, matrices, formas 2D y 3D, números de Fibonacci, Bernoulli, Euler, números complejos, combinatoria, fracciones, estadística y ecuaciones LaTex.

Free Mathematics Tutorials

Conjunto de calculadoras, principalmente geométricas, ofreciendo el cálculo de triángulos, áreas, volúmenes, puntos medios de geometría 3D, anillos, círculos inscritos, Teorema de Pitágoras, trigonometría, etc.

GeoGebra

Ofrece calculadoras gráficas,  para 3D, científicas y geométricas, además de numerosos recursos para estudiantes. 


Google

El más famoso buscador puede usarse para realizar cálculos sencillos. Además de los operadores de suma, resta, multiplicación y división, se pueden obtener potencias (^), raíces (sqr), logaritmos (log y ln), y funciones trigonométricas (sin, cos, y tan). Al usar estos operadores se abre una interfaz de calculadora clásica. 


Keisan Online Calculator

En inglés. Calculadora de alta precisión de Casio. pera con 22 dígitos de precisión, pudiendo aumentar hasta los 130 dígitos.

Herramientas de Ingeniería

Conjunto de herramientas de cálculo dedicadas a la Ingeniería, que permiten realizar las siguientes operaciones: gases (densidad, volumen, gases ideales, etc.), líquidos (presión, número de Reynolds, pérdida de carga, etc.), electricidad y electrónica (resistencias, tensión, condensadores, etc.), psicometría (entalpía, presión de vapor, rocía, etc.), óptica (frecuencia, snell, dioptrías, etc.), y varios (ruido, luxes, longitud de onda, etc.). También dedica recursos al desarrollo de aplicaciones de cálculo a medida (software).

La calculadora

Ofrece veinte calculadoras, para el cálculo de hipotecas, porcentajes, áreas, volúmenes, financiera, husos horarios, IVA, cálculo de peso, calorías, euro, ovulación, y ¡hasta amor según nombres y apellidos!

Matrix Calculator

Calculadora que permite calcular un determinante, un rango, una suma de matrices, un producto de matrices, una matriz inversa y otros. En resumen, esta calculadora proporciona operaciones con matrices, solución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo con determinantes, y cálculo de valores propios y vectores propios.

Mi calculadora científica

Completo sitio web en el que se dan consejos para comprar una calculadora científica, según las necesidades, ya sea para la enseñanza o la práctica profesional, con información sobre tipos y marcas. También posee la web una calculadora online con las principales operaciones utilizadas. 

OnlineMSSchool

Web dedicada al aprendizaje de las matemáticas online, Tiene calculadoras de teoría de números, conversión de magnitudes, fracciones, porcentajes, ecuaciones, gráficos, progresiones, funciones, límites, combinatoria, probabilidad, números complejos, vectores, matrices, geometría, resolución de integrales, etc, 


Tabla periódica de los elementos - periodni

Sitio web dedicado a la tabla periódica de los elementos, y a la Química en general, que tiene una calculadora centrada principalmente en esta ciencia, pudiéndose utilizar para calcular soluciones, mezclas de gases, masa molar, etc.

Simulador de Tablas de Verdad

Para practicar y desarrollar lógica matemática. Tiene un vídeo de ayuda. Se introduce la expresión lógica mediante botones, y luego haciendo clic en Generar Tabla, esta es mostrada. 


snapXam

Enorme conjunto de calculadoras, ofreciendo, entre otras, aritmética, binomios, factorización, fracciones, método FOIL, integración, mínimo común múltiplo, derivadas, ecuaciones e inecuaciones, polinomios, integración por sustitución de Weierstrass, trigonometría, límites, etc.


Solumaths

Calculadora que permite operar con números complejos, matrices, vectores, ecuaciones, trigonometría, desigualdades, fracciones, resolver integrales, etc. Es un completo software matemático online gratuito.


Symbolab

Extraordinario paquete de herramientas matemáticas, que entre otras, incluye herramientas de Álgebra, Cálculo (con resolución de integrales), estadística, funciones, matrices y vectores, Trigonometría, Estadística, y calculadora gráfica. Muy recomendable.


Web 2.0 Calc

Esta calculadora matemática online, además de presentar una interfaz de una calculadora científica clásica de mano, también permite realizar cálculo con números complejos, resolver ecuaciones, realizar cálculo diferencial, trigonometría, construir gráficas de funciones, etc.


Como conclusión, simplemente decir que las Matemáticas son mucho más que el cálculo matemático o el tratamiento de los números. Así es como enseñan matemáticas en una de las universidades más caras y mejores del mundo.

Enseñanza en la Red

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No hemos conseguido el objetivo de 100.000 visitas/mes para que CUVSI continúe, pero ¡volvemos!

Hace más de un año, la continuidad de CUVSI estaba amenazada y lanzamos un llamamiento a nuestros lectores y seguidores para que hiciesen promoción en redes sociales o enlazasen contenidos de nuestro sitio con el fin de garantizar su supervivencia.

Nos propusimos llegar a 100.000 visitas/mes para garantizar la supervivencia de CUVSI. Y aunque es verdad que muchas personas sí apoyaron nuestro proyecto de enseñanza completamente gratuita online (¡¡¡muchas gracias de todo corazón!!!), hay que reconocer que hemos fracasado por completo en nuestro intento, pues sólo conseguimos 15.529 visitas en enero. Con este número tan bajo de visitas es imposible mantener de una forma garantizada un sitio web, pues su rentabilidad económica diaria en forma de anuncios no llega a lo que cuesta la cuarta parte de un café en España.

En esta tesitura teníamos las siguientes opciones: cerrar el sitio web, intentar conseguir más visitas, o buscar otras formas de rentabilidad económica. Vamos a exponer cada una de ellas.

La primera alternativa era cerrar el sitio web. Una web que sólo prácticamente mantiene una persona, sin ayudas económicas, ni patrocinadores, está llamada a desaparecer.  Afortunadamente, en el caso de CUVSI, el alojamiento es gratuito (de momento) en Blogger. Los únicos costes son el dominio, que es perfectamente asumible, y el tiempo dedicado, que evidentemente no es rentable. Mientras siguieran estas condiciones no lo contemplamos. Eso sí, una web sin actualizar, ni añadir nuevos contenidos, es un fósil más que una web. Y más en el caso pretendido de una academia o universidad online.

Las otras posibilidades eran conseguir más visitas o buscar otras fuentes de ingresos económicos para la web. Estas dos opciones eran las más viables, ya que no queríamos cerrar CUVSI. 

Y en esto llegó la pandemia del COVID-19. La vida cambió, llegaron los confinamientos, decayeron el presentismo y el presencialismo, aumentó el teletrabajo y la enseñanza online. Y también el interés por esta última. 

Esto hizo aumentar las visitas a CUVSI, que han ido subiendo exponencialmente, de tal forma que en algunos meses, si no hemos conseguido las 100.000 visitas al mes, hemos superado las 60.000, lo cual no está nada mal. 

Y esto nos ha dado ánimos para seguir. Y más ahora, cuando la sociedad se está dando cuenta de la importancia de Internet para la educación y la formación. Y más ahora, cuando la terrible pandemia nos ha hecho recluirnos en casa buscando información y nuevas formas de trabajo. Y más ahora, cuando nos ha golpeado económicamente y muchas personas no tienen posibilidades económicas para acceder a una formación.

Por eso volvemos.

Volvemos, porque sabemos que hay personas que siguen visitando la web y que siguen apoyándola.

Volvemos nos entusiasma el fascinante tema del aprendizaje y la enseñanza.

Volvemos, porque somos conscientes que hay personas que no tienen medios económicos para procurarse una formación.

Volvemos, porque creemos en lo que hacemos.

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Poríferos. Esponjas fósiles. Las creadoras de los primeros arrecifes con animales

Arqueociatos

Los poríferos o esponjas son los animales actuales más primitivos. Son metazoos que poseen una cantidad atrial, que no forma parte del organismo, yendo a parar a la misma multitud de canales que atraviesan el cuerpo del animal, abriéndose en un orificio llamado ósculo. El agua circula por las paredes hacia la cavidad atrial y sale al exterior por el ósculo.

Las esponjas se caracterizan por tener un esqueleto formado por espículas de variadas formas, que pueden estar sueltas, englobadas en los tejidos blandos, o entrelazadas entre sí, formando complicadas tramas.

Si no se encuentra, como fósil, la trama completa, sino que se encuentran espículas, mezcladas con otros restos orgánicos en los sedimentos, es difícil lograr una clasificación precisa.

Las esponjas se clasifican según la naturaleza química de sus espículas. Pueden ser de carbonato cálcico (Calcarea), silíceas de tres o seis radios (Hexactinellida), o silíceas monoaxonas o tetrasxonas, que pueden sustituirse por una malla de fibras de espongina (Demospongiae). Aparte están los arqueociatos y los estromatopóridos, grupo extintos relacionados con las esponjas.

Se realiza el estudio por lámina delgada o por observación del fósil, si se ha observado la red esquelética. Las espículas, anteriormente silíceas, pueden haberse transformado en carbonato cálcico. En el caso de que se hay conservado el esqueleto silíceo en una roca caliza, se puede disolver esta, llegando a obtener una estructura tridimensional de gran delicadeza.


Los distintos tipos de esponjas

Las esponjas silíceas son las esponjas de esqueleto silíceo, que se conservan muy como fósiles, pero con frecuencia están epigenizadas por calcita. Son las esponjas que con mayor frecuencia se encuentran fosilizadas, desde el Paleozoico inferior, aunque actualmente son muy escasas en los mares actuales, pudiéndose considerar como fósiles vivientes.

Las hexactinélidas con esponjas silíceas formadas por espículas exactinas, que se agrupan formando redes más o menos rígidas. Se conocen unos 300 géneros de hexactinélidas fósiles, siendo la especie más antigua del Ediacárido, dándose una gran expansión mundial durante el Cámbrico y una gran diversidad durante el Cretácico.

Destacan los géneros Hydnoceras, frecuente en el Devónico superior o tardío, llegando al Carbonífero.

Dyctionina es otro género que presenta una red esquelética rígida, del que se conocen fósiles desde el Silúrico, pero no son tan abundantes hasta el Jurásico y el Cretácico, exhibiendo en este una gran variedad. En las esponjas de forma discoidal, la cara superior actúa como una superficie exhalante, circulando el agua a través del disco de la esponja, de abajo a arriba.

Las lisistéidas son el grupo más importante de esponjas silíceas, caracterizandose por su esqueleto formado por espículas tetractinas muy modificadas, que forman una trama compleja, y generalmente este está epigenizado por calcita. Todas son fósiles, existiendo representantes en el Paleozoico y en el Terciario, pero su mayor desarrollo se da en el Jurásico-Cretácico. Su forma es muy variable y se repite en las distintas familias, por lo que es necesario el estudio de su trama microscópica para clasificarlas adecuadamente. Pueden ser estrelladas, discoidales, esféricas, y de otras formas distintas.

Las esponjas calcáreas son las más frecuente en los mares actuales, pero al estar sus espículas sueltas no se suelen conservar fósiles completos, sino las espículas asociadas a otros microfósiles.

Los esfintozoos son un grupo notable de estas esponjas calcáreas, de paredes delgadas, organizadas según el tipo sicon, con el cuerpo dividido en compartimentos, con tabiques transversales y concéntricos. Son formas ramificadas de aspecto tubular. Existen fósiles desde el Paleozoico hasta el Cretácico, donde alcanzan su máximo desarrollo.

Los faretrones son otro grupo importante, que se caracteriza por espículas triactinas en una red continua, que en el animal vivo debió ser córnea. Su aspecto es muy variado. Se encuentran fósiles desde el Devónico, con máximo desarrollo en el Cretácico inferior. En los mares actuales se encuentran algunas especies, siendo una fauna residual muy pobre.


Poríferos que desaparecieron

Los arqueociatos son unos organismos extinguidos con una organización similar a la de las esponjas, con cavidad atrial, pero su esqueleto está formado por láminas perforadas. Se les considera un filum aparte, pero también se les incluye en el de los poríferos.

Las formas más típicas con cónicas o cilíndricas, con una muralla externa y otra interna que limita la cavidad central, ambas perforadas. El espacio situado entre las dos murallas se llama intervalo y está ocupado por los tabiques o septos radiales perforados, que pueden estar sustituidos por barras perpendiculares a las murallas o por varillas oblicuas. También pueden tener tábulas transversales, perforadas o espinosas, sinaptículos que unen entre sí dos tabiques contiguos.

La estructura de las murallas se puede complicar por espesamiento, lo que determina la formación de tubos en vez de poros y la aparición de otras estructuras, como espinas, brácteas, anillos, etc.

También pueden poseer una estructura vesicular, formada por disepimentos, constituida por finas láminas convexas, continuas, nunca porosas, que se puede desarrollar tanto en el intervalo como en la cavidad central.

El esqueleto de los arqueociatos es laminar y espicular, como se pensó en un principios. Su composición química es controvertida, ya que la opinión mayoritaria es que es calcáreo, pero existen especialistas que opinan que originariamente sería silíceo, ya que la calcita se habría formado por epigénesis y se han encontrado granos de sílice en algunos ejemplares.

Los arqueociatos y las algas calcáreas forman arrecifes costeros, que evolucionan en el tiempo y el espacio, como los arrecifes de coral. En general, las algas calcáreas forman la base, y los arqueociatos la ocupan, sin embargo en algunos casos, los arqueociatos superan a las algas.

Se desarrollan exclusivamente en el Cámbrico inferior, alcanzando una distribución geográfica muy amplia, a escala mundial, excepto en Sudamérica. Por esta razón, son fósiles muy importantes para estableces correlaciones estratigráficas.

Se inician con formas muy simples en el límite Precámbrio-Cámbrico, evolucionan rápidamente, complicando sus estructuras, y desaparecen al final del Cámbrico inferior, sin llegar en ningún caso al Cámbrico medio. Su presencia fue fundamental en los arrecifes, en una época en la que estos no eran construidos por los celentéreos.

Su clasificación se basa en sus estructuras esqueléticas, existiendo dos grandes grupos: regulares e irregulares.

Su desaparición se ha relacionado con movimientos geológicos que ocasionaron un descenso de la temperatura y con cambios ecológicos en las condiciones del fondo marino.

Los estromatoporidos fueron muy importantes en el Silúrico y el Devónico, aunque también se les encuentra desde el Ordovícico. Como fósiles foman láminas de carbonato cálcico, en las que dentro hay espículas.

Formaron grandes arrecifes en el Paleozoico. Se piensa que se extinguieron por un descenso global de las temperaturas.


La importancia en el pasado de las humildes esponjas

Aunque sean los animales más primitivos hoy en día conocidos, esto no quiere decir que todos los animales desciendan de las esponjas. Los animales más primigenios pueden haber sido los ctenóforos.

Actualmente se sostiene que las esponjas evolucionaron paralelamente al resto de los animales. Pero ahí estaban en los primeros tiempos de la vida animal pluricelular. Aparecieron en el Proterozoico, ya estaban presentes en la fauna de Ediacara, y por supuesto en aquella fascinante explosión del Cámbrico.

Y su papel en la formación de arrecifes fue completamente decisivo en aquellos tiempos en que no existían los corales, tal como hoy día los conocemos. Aquellos arrecifes en los inicios del Paleozoico eran muy distintos de los actuales, en los que las comunidades microbianas, como los estromatolitos, tenían una importancia fundamental. Como distintas también eran las esponjas, como eran los arqueociatos. Con la desaparición de estos, los arrecifes del Ordovícico ya tenían otro tipo de esponjas, algo más parecidas a las actuales.

A finales del Devónico, las esponjas se retiran masivamente de los arrecifes, en los que ya no volverían a tener un papel tan importante. Los corales ocuparían su lugar.

Cuando hoy día nos asombramos ante la belleza de un arrecife de coral, de esa explosión de vida y color, no podemos dejar de preguntarnos que colores, que texturas, que formas de vida tendrían esos arrecifes del Cámbrico.


1. Morfología y fisiología

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 147-150, Introducción, Morfología general, Alimentación, Epibiosis, Reproducción y desarrollo)

2. Sistemática

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 150-152, Sistemática)

3. Clase Demospongiae

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 152-157, Clase Demospongiae)


4. Clase Calcarea

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 157, Clase Calcarea)


5. Clase Hexactinellida

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 157-158, Clase Hexactinellida)

6. Clase Archaeocyatha (Arqueociatos)

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 158-160, Grupos incertidae sedis, Clase Archaeocyatha, Clase Receptaculita)


7. Ecología y paleoecología

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 160-163, Ecología y paleoecología)


8. Biogeografía y paleobiografía

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 163-164, Biogeografía y paleobiografía)


9. Bioestratigrafía

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 164-165, Bioestratigrafía)


10. Origen y evolución

- Lectura: Fundación Félix de Azara. Paleontología de Invertebrados. Tomo I (pdf, pags. 165-167, Origen y evolución)


Paleontología de vertebrados

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Matrices y determinantes

¿Qué es una matriz? Es una ordenación de números en filas y columnas, siendo su dimensión filas x columnas. Es un instrumento matemático para organizar información numérica.

Es una herramienta enormemente versátil, ya que tiene aplicaciones prácticamente para todo. Una de las más conocidas es la resolución de sistema de ecuaciones lineales. Pero no es la única. Hay aplicaciones en ciencias sociales, ingeniería, informática, robótica, astronomía, estadística, geometría, etc.

Por ejemplo, si pudiésemos expresar con una matriz la configuración atómica y molecular (sólo se sabe y con incertidumbres la del elemento más simple, el hidrógeno) podríamos crear certeras moléculas contra el cáncer que lo destruirían de forma sencilla sin dañar nada más. Hoy día estamos lejos de este objetivo, ya que desconocemos muchos datos de la configuración atómica y molecular, y además los cálculos que tendrían que realizar serían gigantescos...

Una matriz es cuadrada, si tiene el mismo número de filas que de columnas; si no, es rectangular, pudiendo ser vertical, si tiene más filas, y horizontal si tiene más columnas. Un caso especial de matriz vertical es la matriz columna, que sólo tiene una, y de matriz horizontal la matriz fila, que sólo tiene una. La matriz diagonal tiene todos los valores nulos (con cero) excepto la diagonal, que será escalar si todos los elementos de la diagonal son iguales, e identidad si todos son el número 1. Una matriz nula o cero tiene todos los elementos nulos (cero, 0). Una matriz es traspuesta de otra si conciden las filas con sus columnas y viceversa.

Con las matrices se pueden realizar varios tipos de operaciones, como trasponerlas (es como un reflejo de sus elementos), sumarlas, restarlas, multiplicarlas entre ellas o por un escalar, e invertirlas, siendo una matriz inversa, la que posee ciertas propiedades.

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Son las matrices que más se usan en álgebra.

El rango en álgebra es la dimensión en conjunto imagen de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales. El rango en una matriz es el número de columnas o filas respectivamente que son linealmente independientes. De esta forma se descartan filas o columnas nulas, iguales, o que son combinaciones lineales o proporcionales de otras.

Los determinantes se crearon antes que las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero es en el siglo XIX, cuando se da impulso a su teoría y se empieza a usar su notación actual.

Entre los métodos de cálculo de determinantes, destaca la Regla de Sarrús para determinantes de 3 filas y 3 columnas.

Los determinantes, además de su uso para cálculo matricial y resolución de ecuaciones lineales, también se pueden emplear, entre otras aplicaciones, para cálculos en el plano, posiciones de rectas y planos, cálculo de volúmenes, como aplicaciones matemáticas.

1. MATRICES


1. Definición de matriz

- Lectura: Wikipedia. Matríz (matemáticas) (parte correspondiente)
- Lectura: Descartes. Introducción al cálculo matricial (parte correspondiente)

- Lectura: Julián de la Horra (UAM). Cálculo matricial (pdf) (parte correspondiente) 

2. Tipos de matrices

- Lectura: Wikilibros. Tipos de matrices
- Lectura: Carlos Orihuela Romero. Matrices y determinantes (pags. 24-26)
- Vídeo: Videos CESUVER. Tipos de Matrices

3. Operaciones con matrices y sus propiedades

- Lectura: Wikipedia. Matríz (matemáticas) (parte correspondiente)
- Vídeo: Professor.ingeniero. OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición

- Vídeo: Pau Fernández. Trasponer una matriz
- Vídeo: Canal Mistercinco. Traspuesta de una matriz

Suma y diferencia de matrices

- Vídeo: Math2me. Suma y resta de matrices

Producto de una matriz por un escalar

- Vídeo: Educatina. Producto de una matriz por un escalar

Producto de matrices

- Vídeo: Professor.ingeniero. Producto de matrices

Inversión

El cálculo de la matriz inversa se puede realizar por determinantes y adjunto o por el método de Gauss, que veremos en el siguiente epígrafe.

4. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

- Lectura: Mates fácil. Matriz inversa por Gauss

- Vídeo: Videoejercicios. Método de Gauss-Jordan. Inversión de matrices

4. Matrices cuadradas

- Lectura: Wikipedia. Matriz cuadrada

5. Rango de una matriz

Se llama menor de orden p de una matriz al determinante resultante al eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. En una matriz cualquiera  Am×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado. El rango (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero.

Este concepto está unido al de determinantes.

- Lectura: Superprof. Rango de una matriz. Cálculo por determinantes

6. Aplicaciones de las matrices

- Lectura: INTEF-EDUCA LAB. Matrices y determinantes

2. DETERMINANTES


1. Definición de determinante

- Lectura: Wikipedia. Determinante (matemáticas)

2. Cálculo de determinantes de una matriz

- Presentación: That Quiz. Determinante de una matriz
- Vídeo: Lasmatematicas.es. Determinante de una matriz 4 x 4
- Vídeo: Khan Academy. Determinante n x n

3. La regla de Sarrus

- Lectura: Wikipedia. Regla de Sarrús
- Lectura: Yo soy tu profe. Regla de Sarrús

4. Propiedades de los determinantes

- Lectura: Hiru. Propiedades de los determinantes

5. Aplicaciones de los determinantes

- Lectura: Thales. Aplicaciones de los determinantes
- Lectura: Lemat. Más aplicaciones del determinante
- Vídeo: Danielsteven. Aplicaciones de matrices y determinantes a la Ingeniería Quimica

Problemas resueltos

- Problemas: J.M. Pérez S-González-UV. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
- Problemas: J.M. Martínez Mediano-UAH. Matrices y determinantes
- Problemas: Cálculo CC. Problemas resueltos de cálculo del rango por determinantes
- Problemas: Wikihow. Como encontrar el determinante de una matriz 3 x 3
- Problemas: Vitutor. Cálculo de determinantes
- Vídeo: Professor.ingeniero. OPERACIONES CON MATRICES ejercicios resueltos


Calculadoras online de matrices y determinantes

- Aplicación: Matrix calculator. Operaciones con matrices
- Aplicación: Mates fácil. Calculadora de Determinante de una matriz de dimensión 2x2, 3x3 y 4x4
- Aplicación: OnlineMSchool. Online calculadora. Determinante de matriz
- Aplicación: Symbolab. Calculadora para el determinante de una matriz y Calculadora de matrices
- Aplicación: Matrix Reshish. Calculadora de matrices
- Aplicación: Xuletas. Cálculo de matrices paso a paso
- Aplicación: Calculadora de matemáticas. Calculadora de matrices
- Aplicación: Didactalia. Calculadora de determinantes
- Aplicación: Marcelo Valenzuela. Cálculo de determinantes 2 x 2 a 5 x 5
- Web: Rincón didáctico Matemáticas. Programas Wiris y Wpmáxima


Para saber más y ampliar conocimientos

- Lectura: AGA Virtual. Determinante de una matriz
- Lectura: IES As Telleiras. Matrices y determinanes (pdf)
- Lectura: Escuela de Naútica-EUS. Matrices y determinantes
- Lectura: Junta de Andalucía-Averroes. Matrices y determinantes (pdf)
- Lectura: Matemáticas online. Matrices y determinantes (pdf)
- Lectura: Universidad de Antioquía. Determinantes
- Lecturas: M.D. Moreno-UCLM. Matrices y determinantes
- Lectura: Thales. Matrices y determinantes
- Lectura: P.J. Herero Piñeiro. Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: G. Jarne, E. Minguillón, T. Zabal. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: J. Medina Molina. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- Lectura: Sixto Romero-UHU. Matrices y determinantes
- Lectura: ESI-US. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales


Álgebra Lineal y Geometría

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Necesitamos llegar a 100.000 visitas/mes para que CUVSI continúe

Detrás de CUVSI no hay ninguna organización, ninguna empresa, ningún patrocinio, tan sólo el entusiasmo de un minúsculo equipo que ha puesto sus conocimientos y su tiempo sin ganar nada a cambio, tan sólo por el entusiasmo de una bella idea: formación completamente gratis online abierta a todo el mundo.

Sin embargo, a pesar de la valoración de los cursos de CUVSI por parte de algunas empresas y organismos públicos, no tiene la promoción necesaria para sobrevivir. CUVSI carece de medios para contratar publicidad y promoción en Internet.

La finalización, continuidad o la falta de mantenimiento de CUVSI está en las manos de sus seguidores. Para que este gran proyecto pueda continuar tenemos que fijar metas, porque ya se está agotando.

Tenemos como meta conseguir al menos 100.000 visitantes por mes en el mes de febrero de 2020. Aunque con esta cifra, CUVSI no podría remunerar adecuadamente a su modesto equipo, al menos sería un pequeño incentivo para poder continuar.

Si en febrero de 2020, CUVSI no consigue llegar a los 100.000 visitantes, no pasaría nada, el mundo seguiría como está. Simplemente, un proyecto pionero de formación para hispanohablantes del que todo el mundo se podría beneficiar dejaría de existir. Quedaría demostrado que no hay un número suficiente de personas que deseen una formación en español completamente gratuita con certificado a través de Internet.

Si CUVSI se cerrase o no tuviera mantenimiento, sus seguidores tendrían que buscar formación presencial y de pago, y si la desean online, posiblemente en otro idioma distinto del español.

Si por el contrario, se alcanza la cifra de 100.000 visitas/mes en febrero 2020, significaría que merece la pena seguir con este proyecto, abierto a todo aquel que desea aprender y formarse sin ningún coste.

Tan sólo pedimos a nuestros seguidores que con el mínimo esfuerzo de compartir en redes sociales, en WhatsApp, enlazar nuestros contenidos o nuestra web, o simplemente hacer promoción boca a boca, cada vez más gente conozca CUVSI y nos puedan llegar más visitas hasta llegar a la meta fijada por el momento.

No pedimos dinero, no intentamos convencer a nadie de nada, simplemente queremos que nos conozcan. Si les gusta nuestro proyecto nos parecerá bien y si no les gusta también nos parecerá bien.

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El material de dibujo

Evidentemente no es la misma calidad un material de dibujo comprado en una casa especializada que instrumentos escolares, que no obstante, es un primer paso para iniciarse en el dibujo. Hay que tener en cuenta además que para iniciarse en el dibujo científico de Naturaleza es posible hacerlo como aficionado con materiales baratos, para ir aumentando la inversión a medida que vaya aumentando el trabajo, la destreza y la profesionalidad.

La diferencia entre el dibujo científico de Naturaleza y el dibujo geométrico, lineal o industrial, es que este último debe ser completamente geométrico, esquemático y preciso, mientras el de Naturaleza debe ser ilustrativo, pedagógico, y si es posible, artístico.

Ello no quita que no puedan tener muchas cosas en común. Por ejemplo, dibujos de plantas o animales pueden acompañarse de gráficas, mapas o cortes geológicos, y planos de construcciones o maquinaria pueden acompañarse de dibujos de como serían tras ser construídos.


1. Soportes de papel

En cuanto a soportes de papel tenemos principalmente cinco: el papel o cartulina, el papel de calcar, el papel vegetal o cebolla, el papel o cartulina con relieve, y el papel milimetrado.

El papel se vende en rollos o en hojas. Estas se suelen agrupar en resmas de 500 hojas. Una mano son 25 hojas. Por tanto un paquete de 500 hojas, una resma, tiene 20 manos.

Hoy día el formato más usado es el de la norma internacional ISO-DIN, en los formatos A3 (297 x 420 mm) y A4 (210 x 297 mm), siendo este último el formato usado como hoja de papel estándar o folio.

La fuerza del papel corresponde a su espesor y se mide en gramos por metro cuadrado (g/cm²), de aquí el nombre de gramaje. En cuanto a películas plásticas, el espesor de expresa directamente en micras.

El folio normal que usa para impresoras o para tomar apuntes es muy versátil y rinde muy buenos servicios, pero tiene poco cuerpo. De elegirlo, preferiblemente el de mayor gramaje.

El papel de calcar o de calco puede servir para componer figuras o hacer mapas y el más fino para croquis. Cuanto más fuerte mejor, siempre que no pierda la adecuada transparencia. La lámina de acetato suele ser lo más usado.

En dibujo industrial se han usado hace unos cuantos años el papel vegetal o papel cebolla, cuando se usaba para hacer copias, hoy ya en desuso por los programas CAD y las impresoras plotter. En ilustración de Naturaleza puede ser adecuado para mapas. No se le debe doblar porque los dobleces se marcan permanentemente.

La cartulina estucada es el soporte más agradable para el dibujo científico. Es un cartón recubierto por una capa de estuco. El dibujo hecho sobre este material se puede retocar raspando el estuco con una cuchilla. También es muy interesante la cartulina estucada negra, sobre la que se pueden dibujar fácilmente figuras blancas sobre fondo negro con una cuchilla.

En el papel o cartulina estampado al tener un relieve destinado a fragmentar el trazo en punteados con el lápiz, se pueden dibujar diferencias de tono, grisados que son muy laboriosos si se realizan a base de puntos. La superficie puede ser no raspable, de papel fuerte con superficie vermiculada, en la que la tinta se reparte por depresiones y relieves. Si es raspable, cartulina estucada en relieve, se puede trabajar con raspador.

El papel milimetrado es un papel que puede ser opaco o transparente, rayado horizontal y verticalmente con líneas espaciadas a escala milimétrica, con distancias entre líneas normalmente de 1 mm. En dibujo geométrico se emplea para bocetos, croquis, gráficas y diagramas. En ilustración científica se puede emplear para mostrar gráficas (como puede ser el aumento de la población de un ave, con un dibujo de la misma de fondo).

2. Lápices y portaminas

Los lapices de calidad tienen una dureza normalizada, que se indica normalmente con las HB y F. Los lápices duros llevan la letra H y los blandos la B, y además llevan un número proporcional a esta magnitud, así los 4B son muy blando y los 4H muy duros.

Conviene disponer de un juego de tres tipos:

- Para dibujar un lápiz de dureza media, HB o F.

- Uno blando o graso, al menos 2B. Ensucia y es frágil, pero puede servir para tiznar el reverso de dibujos para calcarlos.

- Para repasar los dibujos, sobre todo cuando se realiza una transferencia por calco, un lápiz relativamente duro 2H.

La sección de los lápices puede ser redonda o hexagonal, siendo esta preferible ya que no ruedan cuando se dejan sobre una mesa de dibujo inclinada.

El lápiz se debe poder afilar sin romperse. Para afilarlos, se puede usar un raspador para afilar minas, que es una simple pletina de cartón con un trozo de lija fina, sobre la que se gira la punta del lápiz. Esta operación se debe hacer fuera del papel de dibujo para que no caiga sobre el polvo del lápiz y lo ensucie. Otra opción usada es el afilador. Se debe hacer girar en él el lápiz de forma suave.

Los lapices de colores deben dar su color sin esfuerzo y con trazos suaves, y la mina no debe desmoronarse o quebrarse.

Todo esto es aplicable a los portaminas. Su mecanismo debe ser de buena calidad, que sujete firmemente la mina, esta no se debe desplazar si se da un trazo enérgico.

Las minas se venden en estuches para protegerlas de los golpes, ya que son frágiles.

Los portaminas tienen una ventaja sobre los lápices. Existen minas muy delgadas que no necesitan afilarse, siendo muy prácticas, además de para dibujo industrial, para gráficos, mapas, cartas geológicas, etc.

3. Gomas y borradores

Existen dos grandes grupos de gomas, las clásicas a base de caucho y las gomas plásticas o borradores plásticos.

Las gomas clásicas son las que dan mejor resultado para los lápices de grafito sobre papel común, celulósico. Son desaconsejables las de colores, ya que si no son de buena calidad dejan marca, y las rígidas, ya que extiende el grafito sin absorberlo.

Las gomas plásticas o borradores plásticos absorben muy bien el lápiz en los soportes plásticos, ya que las clásicas a menudo lo extienden. También dan buenos resultados en otros tipos de soporte.

A menudo las gomas vienen en un estuche protector, que conviene conservar, ya que de esta manera evitamos que la goma se ensucie, lo que hará que la conservemos más tiempo.

También existen los lápices goma, en los que la mina es de goma en vez de grafito. Son útiles para borrar puntualmente y con precisión.

Hay gomas especializadas en borrar lápiz de colores, en tinta china, etc. Su calidad y eficiencia depende de la marca.

Si la goma está sucia, conviene, antes de borrar, frotarla sobre un papel antes de usarla. 

4. Plumas y portaplumas

En la actualidad existen varias posibilidades, que van desde las plumas clásicas a los instrumentos más modernos.

El palillero de dibujo clásico, es lo más simple y lo más barato. Aunque ha sido desplazado en los últimos tiempos, sigue siendo muy empleado. Es un palillero de plástico o madera en cuyo mango se inserta la pluma.

Las plumas pueden ser clásicas con punto flexible, con punto de longitud y anchura variables, conviene disponer de una serie completa; plumas ordinarias, gracias a su firmeza pueden sustituir a un tiralíneas siempre que no se presionen inadecuadamente; de apertura fija, los tiralíneas, usados hace unos años en dibujo industrial, las plumillas de disco, que existen en varios espesores; y las plumas pincel, que poseen una laminilla metálica que hace de depósito de tinta.

Los tiralíneas pueden ser finos, para líneas finas, o de grueso, también llamada sueco o de lengua de vaca, que conviene que una de sus patas sea giratoria sobre la otra, para facilitar su limpieza. No conviene cargarlos de tinta en exceso, ya que puede caer alguna gota sobre el dibujo.

Los estilógrafos son plumas tubulares que tienen un depósito de tinta. Se les conoce popularmente como "rotrings", ya que Rotring es una de las marcas pioneras y más usadas. Tienen como ventaja su fácil uso, su trazado constante y su limpieza, y y como inconvenientes la necesidad de mantenimiento, ya que necesitan limpieza periódica para no obturarse, y la fragilidad y fácil rotura cuando las puntas son muy finas.

Por último, hay que hacer mención a los rotuladores de punta muy fina, cuya tecnología ha mejorado notablemente en los últimos años. No son comparables en calidad a las plumas, pero a veces pueden servir como sustituto.

En cuanto a la tinta, hay que hablar de dos propiedades: la opacidad y la fluidez. Cuanta más opaca mejor, y en cuanto a la fluidez, esta debe ser la adecuada para el propósito que la usamos.

5. Pinceles

La calidad de un pincel está directamente relacionada con la calidad del pelo, siendo buenos los de marta y ardilla. Conviene disponer al menos un pincel grande y otro pequeño.

También están las brochas de cerda, redondas, abombadas y planas, con distintas longitudes de pelo.

Un pincel, aunque no lo parezca es un instrumento muy frágil. Cuando se limpie en el agua, no hay que dejar que se aplaste la punta, ni dejarlo tiempo excesivo. No hay que intentar sacar un grumo de pintura aplastando los pelos. Para limpiarlo hay que enjuagarlo con abundante agua limpia y luego dejarlo secar de forma plana. No hay que dejar que una pintura se seque en la brocha. Si se va a dejar de usar durante un tiempo un pincel de buena calidad, hay que untar los pelos con vaselina, y a la hora de usarlo hay que eliminar la vaselina con agua y jabón.

6. Reglas y plantillas

Las reglas graduadas se emplean para medir longitudes. Conviene que sean de plástico y de buena calidad.

La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles y el cartabón tiene la forma de un triángulo rectángulo con ángulo agudos de 30º y 60º. Para que sean un juego el cateto menor debe ser igual a la hipotenusa. Se deben usar de plástico transparente. Se usan para trazar líneas.

El transportador de ángulos puede ser un círculo o un semicírculo donde van grabados los ángulos.

Las plantillas de curvas se emplean para trazar curvas que no se puede o no se hace bien con el compás. Conviene que sean flexibles, de plástico y que tengan un buen número de curvas. El uso correcto es dibujar primero a lápiz y luego a tinta. Conviene tener dos, una con curvas grandes y otra con curvas pequeñas.

Existen también reglas flexibles deformables, pero no suelen dar muy resultado, ya que a la larga se terminan estropeando y no sirven para curvas pequeñas.

También existen plantillas especiales, que son de plástico, en las que se ha perforado unas formas de frecuente uso, las hay de elipses, letras, círculos, cuadrados, y especializadas, con símbolos sanitarios, eléctrónicos, etc.

7. Compases

El compás grande con alargadera consta de dos patas articuladas. En un hay una punta de acero y en la otra el elemento trazador, de lápiz o de tinta. Hay que colocar la punta en el punto exacto y trazar el círculo desde la parte superior o mango. El trazar de tinta o lápiz siempre vertical y el compás bien ajustado, sin articulaciones flojas.

El compás de puntas se emplea para transportar medidas. El mecanismo de articulación de las patas no debe estar excesivamente prieto.

La bigotera, usada para trazar circunferencias pequeñas, puede ser de dos tipos: normal, en la que la separación de las patas es por una rueda moleteada, o loca o de émbolo, en la que hay un eje con una punta y la otra pata es separada por un tornillo.

8. Mesa o tablero de dibujo

El más simple puede ser un cartón grueso de 500 x 300 mm. Si se puede disponer de un tablero, mejor que sea de madera contrachapada.

Las casas especializadas ofrecen varios modelos en el mercado. El papel se puede sujetar a la mesa con cinta adhesiva.

Hay mesas de dibujo que tienen reglas con brazos de T o largas para trazar paralelas. Cada vez son menos usadas.

La iluminación debe ser suficiente y venir de arriba y a la izquierda.

9. Otros instrumentos

Pueden mencionarse la piedra de afilar, para mantener en buen estado los tiralíneas y compases, se suele cubrir con una capa de aceite para hacer más suave la operación; la cuchilla, que puede ser una simple cuchilla de afeitar, para retocar dibujos; o el trapo de limpieza, para limpiar los instrumentos.

Hay quien prefiere usar raspadores en vez de cuchilla. Un raspador consiste en un mango al que se le inserta una hoja puntiaguda o de bisturí. Permite un trabajo más fino que el que se podría hacer con una simple cuchilla.


Ilustración científica de Historia Natural

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Ecuaciones algebraicas

Un polinomio es un expresión algebraica que contiene variables, las x (y,z, etc), que son valores desconocidos, y números, que pueden ser coeficientes, que multiplican a la variable, y constantes, números independientes. La variable puede estar elevada a un determinada potencia, el exponente, que incluso puede ser el cero. El número máximo de exponente es el grado del polinomio.

Los polinomios son fundamentales en la ciencia. Han demostrado su enorme utilidad en física, química, ingeniería, economía, y ciencias sociales, pero no sólo en estas ciencias, sino también, por citar algunas, en biología, medicina, ecología, etc.

Una ecuación algebraica es una expresión polinómica que se iguala a cero. Las soluciones, llamadas raíces o ceros, son tantas como sea su grado. La ecuación de primer grado, o lineal (porque su representación es una línea), no ofrece ningún problema. Para resolver una ecuación de segunda grado emplearemos la fórmula correspondiente. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron estudiadas, entre otros, por Caramo y Tartaglia, que obtuvieron su fórmula. Para las ecuaciones de quinto grado y superiores no siempre se pueden obtener soluciones por el método de los radicales, como demostró Galois a principios del siglo XIX.

Si tenemos varias ecuaciones lineales, de primer grado, con varias variables, si tenemos tantas ecuaciones como variables, tendremos un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema es relativamente sencillo no resulta muy difícil despejar las variables por sustitución, igualación o reducción, pero si el sistema es complicado, esta tarea puede resultar trabajosa, por lo que para ello se pueden utilizar matrices, siempre que el sistema sea de Cramer, es decir, que tenga una única solución.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, de primer grado, se pueden resolver de tres formas distintas: algebraica, despejando las incógnitas; geométrica, representando las funciones, o mediante matrices.

Las ecuaciones  de  Cardano-Vieta  permiten  expresar  los  coeficientes  de  un  polinomio de cualquier grado, en función de sus raíces, siendo de enorme utilidad. Sin embargo, tienen un fallo:no se puede saber si las raíces obtenidos como solución del sistema de ecuaciones son reales o complejas.

La acotación de raíces consiste en obtener las cotas superiores e inferiores de las raíces. Se utilizan los métodos de Laguerre y de Newton.

La separación de raíces es el segundo paso para hallar las raíces. Sabiendo que están en un intervalo, se separan, en intervalos en los que se puede afirmar que hay una raíz y sólo una. Además de separarse las raíces de un polinomio por medio de su derivada, se usan los métodos de Rolle, Budan-Fourier, de Sturm, y de Harrior-Descartes.

El último paso es el de aproximación de raíces. Para ello, separadas en intervalos, las vamos aproximando a la solución. Se usa el método de Newton, de Horner, de Budan-Fourier, de la Regula Falsi, y el general de iteración.


1. Polinomios

- Lectura: J. Martinez Mediano. Polinomios y otras expresiones algebraicas (pdf)
- Lectura: Wikipedia. Polinomio
- Lectura: Superprof. Polinomios
- Lectura: Khan Academy. Introducción a los polinomios
- Lectura: Vitutor. Operaciones con polinomios
- Lectura: Wikipedia. Regla de Ruffini
- Ejercicios: Matemáticas jjp. Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Ejercicios: Universidad de Zaragoza (OCW). Ejercicios resueltos de polinomios (pdf)
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de polinomios
- Herramienta: Matematicas Online. Suma y resta de polinomios

2. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

- Lectura: Wikipedia. Ecuación algebraica
- Lectura y problemas: Vitutor. Ecuaciones lineales
- Lectura: Wikipedia. Sistema de ecuaciones lineales
- Lectura: Espanito. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Regla de Cramer
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Rouché–Frobenius
- Herramienta: WIMS. Solucionador de sistemas lineales
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de ecuaciones
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de desigualdades
- Herramienta: Symbolab. Calculadora de sistemas de ecuaciones

3. Ecuaciones de Cardano-Vieta

- Lectura: Wikipedia. Relaciones de Cardano-Vieta
- Lectura: U. de Navarra. Polinomios y relaciones de Cardano-Vieta (pdf)
- Ejercicios: Fernando Revilla. Fórmulas de Cardano-Vieta

4. Raíces de una ecuación algebraica. Resolución algebraica o numérica. Ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado

- Lectura: Wladimiro Díaz Villanueva. Cálculo de raíces de ecuaciones
- Lectura: Curso interactivo de Física en Internet: Raíces de una ecuación

5. Acotación de raíces

- Lectura: Educajob. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: U. de Oviedo. Raíces de ecuaciones no lineales

6. Separación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: Aula Abierta de Matemáticas. Resolución de ecuaciones
- Lectura: Wikipedia. Teorema de Sturm

7. Aproximación de raíces

- Lectura: Oposinet. Tema 14 (parte correspondiente)
- Lectura: CEDE. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces (pdf)
- Presentación: Antonio Herrera Escudero (U. Veracruzana). Raíces de polinomios (pdf)

Ejercicios resueltos de ecuaciones algebraicas

- Ejercicios:Apuntes marea verde. Ecuaciones y sistemas
- Ejercicios: OEI. Problemas cuadráticos de Olimpiadas (pdf)
- Ejercicios: Colexio Abrente. Ecuaciones y sistemas de 1º y 2º grado (pdf)
- Ejercicios: Jesús Montserrat Torrecillas. Métodos Numéricos en el Ámbito Naval (parte correspondiente, pdf)


Algebra Lineal y Geometría

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